2—4离散时间线性非时变系统与差分方程.ppt

2.4离散时间线性非时变系统与差分方程;图2-20 离散系统的模型;一.离散线性非移变系统及卷积运算(1) 系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有;例: 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [k]产生的输出信号T{x [k]}为 T{x [k]}=x2[k] 输入信号ax [k]产生的输出信号T{ax [k]}为 T{ax [k]}= a2x2[k] 除了a=0,1情况，T{ax [k]}? aT{x [k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。;例??y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。;(2) 系统的非移变特性 时不变(Time-Invatiance) 系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为 T［x(n－n0)］=y(n－n0) 即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22 所示。;图2-22 离散系统的非移变特性;在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。 例：?? 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。 计算： T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。 ;解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk] 输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为 T{x[k-n]}= x[Mk-n] 由于 x[Mk-n] ?y[k-n] 故系统是时变的。;抽取器时变特性的图示说明;(3) 线性非移变系统： 线性时不变系统，简称为：LTI 线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有非移变特性的系统，将其描绘如图2-24所示。;定义：;LTI系统对任意输入的响应;当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为;通常把上式称为离散卷积或线性卷积。 这一关系常用符号“*”表示：;二、离散卷积满足以下运算规律： (1)交换律 ;(2)结合律 ;(3)分配律;(4) 线性卷积（离散卷积）的计算 计算线性卷积有4种方法。 ① 利用两个序列的解析式直接计算。 ② 利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。 ③ 用作图法求。 ④ 卷积的Matlab实现;离散卷积的计算;计算卷积的步骤如下： ????(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k)。 ????(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。 ????(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。 ????(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。 ;计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。 ;;综合以上结果，y(n)可归纳如下：;卷积结果y(n)如图2. 16所示 ;三.系统的稳定性与因果性 (1) 稳定性 对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为 如果 ｜x(n)｜＜∞对于一切n 则 ｜y(n)｜＜∞对于一切n; 因为 其中假设｜x(n)｜≤M。;2．因果性 一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0 ,当n n0时，x1(n) = x2(n),则n n0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即 h(n)=0 n0 这个充要条件可以从 y（n）＝ x(n)*h(n) 的解析式中导出。;四.线性常系数差分方程;一、差分的概念与性质;定义1 ;一般地，函数;例1 设;例2 设;差分满足以下性质：;例3 求;二、 差分方程的概念;定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.;定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数 的各阶差分均为一次，则称该差分方程为线性 差分方程. 其一般形式为;;线性常系数差分方程的一般形式为：;;有反馈型(无限冲积响应)：;差分方程的特点