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3.3电路1阶微分方程的求解
电路暂态分析的目的是为了得到
电路的时域响应。 ;3.3 一阶微分方程的求解; ;前向欧拉法的几何意义:;例1. 应用前向欧拉法解初值问题;微分方程 是一阶线性微分方程,可求出其通解: ;计算结果列表( 为前向欧拉法计算近似值, 为精确值);分析:;二、后向欧拉法;在任一步长内,用一段直线
代替函数 的曲线,此直
线段的斜率等于该函数在该
步长终点的斜率。
;注:后向欧拉法的两种处理方式
① 前向Euler法为显式,后向Euler法为隐式——须解出yk+1.
② 可用迭代法
yk+1 (n+1) = yk + hf (tk+1,yk+1(n))
n = 0,1,2,… 解得yk+1 ,
其中yk+1(0) = yk + hf (tk,yk).(结合前向欧拉法,预报);例2. 应用后向欧拉法解初值问题;计算结果列表( 为后向欧拉法计算近似值, 为精确值);三. 梯形法及其预估-矫正法;显然,梯形公式是隐式法,一???求 需要解方程,常采用迭代法,初值由显式的欧拉公式给出:;几何意义
Euler法??折线法
改进Euler法??平均斜率折线法;例3. 应用梯形预估-矫正法解初值问题;计算结果列表( 为梯形预估-矫正法计算近似值, 为精确值);function [T Y]=Trapezia_reckon(odefun,ab,ya,M)
% odefun: 微分方程 a、b:计算区间
% ya:初值 y(a) M:等分数目
% T: 离散的时间变量
% Y梯形公式的预估校正法解
h=(ab(2)-ab(1))/M; %步长
T=zeros(1,M+1);Y=zeros(1,M+1);
T=ab(1):h:ab(2); Y(1)=ya;
for j=1:M
k1=feval(odefun,T(j),Y(j));
k2=feval(odefun,T(j+1),Y(j)+h*k1);
Y(j+1)=Y(j)+(h/2)*(k1+k2);
end ;求解器;在用常微分方程描述一个电路的暂态过程时,往往又包含着多个变化速度相差十分悬殊的子过程,这样一类过程就认为具有“刚性(stiff)”,描述这类过程的微分方程称为“刚性问题”。
例如,电路某一变量以e-t缓慢衰减,而另一变量以e-1000t快速衰减,两变量时间常数相差很大,建立的常微分方程就具有“刚性”。
刚性问题数值解的稳定性通常被最快的模式控制,刚性问题解答的难度就在于其快变子过程的干扰。当我们试图在慢变区间上求解刚性问题时,尽管快变分量的值已衰减到微不足道,但这种快速变化的干扰仍严重影响数值解的稳定性和精度,一般地说,隐型方法比显型方法具有更大的稳定性,因此使用隐型方法求解刚性方程组更为合适.
在MATLAB中,ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb适合求解刚性问题。
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