初一奥数-加法原理与乘法原理选编.ppt

七年级奥数; 加法原理与乘法原理 ;专题简析;;例如，某人要从甲地到乙地去,;;例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？; 乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 .;3、排列：一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 ;排列数公式: 从n个不同元素取 m个 （1 m n)的不同排列总数为：;A;4、组合：一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。;组合数公式: 从n个不同元素取 m个 （1 m n)的不同组合总数为：;;例如， 从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机．坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞机每天只有1个班次，那么，从A城到B城的方法共有2+3+1=6种． 乘法原理完成一件工作共需n个步骤：完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m2种方法，…，完成第n个步骤有mn种方法，那么，完成这一件工作共有m1×m2×…×mn种方法．;例如: 从A城到B城中间必须经过C城，从A城到C城共有3条路线(设为a，b，c)，从C城到B城共有2条路线(设为m，t)，那么，从A城到B城共有3×2=6条路线，它们是：am，at，bm，bt，cm，ct． 下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用．;例1、利用数字1，2，3，4，5共可组成： (1)、多少个数字不重复的三位数？ (2)、多少个数字不重复的三位偶数？ (3)、多少个数字不重复的偶数？;解： (1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择． 所以共有5×4×3=60个数字不重复的三位数． (2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择． 所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数． (3)分为5种情况： 一位偶数，只有两个：2和4． 二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54． 三位偶数由上述(2)中求得为24个． 四位偶数共有2×(4×3×2)=48个． 括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)． 五位偶数共有2×(4×3×231)=48个． 由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130．;例2、从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？;解法二 将符合要求的自然数分为以下三类： (1)、一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共8个． (2)、二位数，在十位上出现的数字有： 1，2，4，5，6，7，8，9的有8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形， 故二位数有：8×9=72个． (3)、三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8共9九种情形， 故三位数有：2×9×9=162个． 因此，从1到300的自然数中完全不含数字3的共有：8+72+162=242个．;例3、在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？;解 ：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数． 先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为：9×9×9×9＝6561， 其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个．;例4、求正整数1400的正因数的个数．;说明 ： 利用本题的方法，可得如下结果：若pi是质数，ai是正整数(i=1，2，…，r)，则数 的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)…(ar+1)．;例5 、求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．;(2)、最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700(个)． (3)、最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有3×10×9×9=2430(个)． (4)、最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)． (5)、a1=6，被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个)． 根据加法原理，5位数中至少出