11集合及其表示.doc

PAGE  PAGE 7 第一章 集合 平时考虑一个问题，总是有一个范围．例如评三好生，考虑的范围是你所在班级的；能储蓄多少钱，考虑的范围是你家庭成员的总收入；这些范围无非是以某些条件界定的人的特定的群体． 讨论数学问题同样如此，也要明确讨论的范围．例如问方程3x-1=0有没有根，如果不限定讨论的范围就无法下结论，因为在整数范围内方程没有根，在有理数范围内则存在唯一根；这些范围无非也是以某些条件界定的一些元素的特定群体． 如此说来，在讨论任何问题(当然包括数学问题)之前，我们必须先要明确讨论的范围．我们所要的范围如何准确界定？如何准确地表示范围？这些也就成了首先要解决的问题．集合的语言可以简洁、准确地描述这个问题． 本章内容将围绕集合展开，依次学习集合的含义，如何构成我们所需要的集合，如何表示一个集合，集合之间有哪些关系，集合可以作怎样的运算以及运算的规则， §1.1 集合及其表示 预备知识 生活常识 重点 1. 构成集合的基本条件 2. 集合的表示方法 难点 1. 集合的特征性质 2. 用适当的方法表示需要的集合 学习要求 1. 感受集合的含义，懂得集合的作用 2. 会根据已知条件构造集合 3. 会用适当的方法表示集合 怪了，还没有学习就已经使用了，那不有先见之明？ 你可能没有使用过集合这个名称，但你肯定经常在使用集合的概念．例如你经常会谈论我的家庭、我的班级，其实在讲到家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如家庭，就是你称呼为父亲、母亲、兄弟姐妹或者还有爷爷、奶奶的一些人，班级就是你认定与你在同一个教室里上课、都称某一位教师为班主任的人，或者更干脆地就是王伟、张辉、李娟、赵文惠、等长长一串班内同学的名单．一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．你不是使用集合的概念了吗？ 下面我们来讲一般的集合． 1. 集合的基本概念 (1)集合的含义 所谓集合，是有限个或无限个事物的总体，这些事物或者被直接选定，或者以某种特定的属性予以界定；构成集合的每一个具体事物叫做该集合的元素． 例如： ①由一个苹果、一本书、一台电脑构成的集合； ②由数0,1,9,11,40构成的集合； ③由数字字符‘0’, ‘2’, ‘7’, ‘9’, ‘5’ 构成的集合； ④一个星期的七天的名称构成的集合； ⑤构成水分子的元素构成的集合； ⑥构成单词“GOOD”的字符构成的集合； ⑦方程x2-3x+2=0的根构成的集合； 集合的元素可以是事，可以是物，可见它几乎包罗万象 ⑧所有可以被2整除的整数构成的集合． 例①②③直接选定了构成集合的事物(元素)；其余几个集合虽然仅指明了构成集合的事物的特定属性，但由属性可以界定构成集合的元素．从例④到例⑧，属性界定的集合的元素依次是 星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五及星期六(6个元素)； 氧(O)和氢(H)(2个元素)； 大写字符‘G’, ‘O’, ‘D’(3个元素)； 数1,2 (2个元素，这个集合叫做所给方程的解集)； 数0, ?2, ?3, ?4, (无限个元素，这个集合叫做偶数集)． (2)集合构成的基本原则 下面几个原则，是能构成一个集合、辨认集合中不同元素的基本保障． 确定性原则：如果集合的元素是直接选定的，构成集合的事物当然被确定了；如果集合的元素是以某种属性予以界定的，则属性一定要保证能确定构成集合的事物，即属性必须能明确地确定集合中的元素．像下面这种属性，就不能确定构成集合的事物，因此是违反确定性原则的： 我所在班级中个儿比较高的同学——属性“你所在班级的学生”是明确的，但“个儿比较高”没有给出标准，班内会有部分同学，说不准是不是算个儿比较高，因此无法确定他们是否能列入“你所在班级中个儿比较高的同学”的集合中； 想一想为什么集合的元素一定要互异？如果去掉这个原则会出现怎样的局面？ 互异性原则：集合中的元素必须是互不相同的．例如第⑥个例子，单词“GOOD”的字符集，只能是三个大写字符‘G’,‘O’,‘D’，两个大写字符‘O’在单词“GOOD”的字符集中只能算作一个元素．同样，水分子H2O的元素集只能是O(氧),H(氢)。 无序性原则：集合中元素的书写次序可以任意，例如单词“GOOD”的字符集的元素，可以写成是‘G’, ‘O’, ‘D’，也可以写成‘O’, ‘G’, ‘D’或者‘D’, ‘O’, ‘G’