5特征值与特征向量.doc

矩阵的特征值与特征向量 考试内容：矩阵的特征值与特征向量的概念、性质、矩阵可相似对角化的充要条件；实对称矩阵的特征值、特征向量的性质；实对称矩阵与对角矩阵的关系。 考试要求：1 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及其性质，会求矩阵的特征值和特征向量； 2 理解矩阵相似的概念、性质及其矩阵相似对角化的充要条件，在矩阵可以对角化的条件下，可求出相似对角阵，并能求出相似变换阵； 3理解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质。 内容概要： 一 矩阵的特征值和特征向量 1 定义：使得： 则称的特征向量。 2 相关的概念 特征矩阵： 特征多项式：; 特征根：即特征多项式的根，也就是特征值； 3需要注意的一些问题 A必须是方阵；是非0的向量； 若的特征向量； 若的特征向量，则的特征向量； 上面说明：属于同一个特征值的特征向量不只是一个，而是无穷多，但是，若，即 若 二 特征值、特征向量常用的结论 1 属于不同特征值的特征向量是线性无关的；即如果分别是属于不同特征值的特征向量，则线性无关。 只证明两个向量的情形：假设 另一方面，由条件可得： 由于，故结论成立。 对于多个向量，同理可证。 2 的特征值是；例如： 的特征向量； ； 如果是的特征向量； 3 设： 证明：有条件可得：； 这是一个关于，便得到上面的第一个等式；然后再令，便得到第二个等式。 4 由上面第二个等式可以得到： 5若，； 例如：,且; 6 关注秩为1 的方阵 此时 若,即 两边用 若 若 当必有一个0特征值。 由上讨论可得：，再由前面特征值的性质： 从而可得：是的特征值，重数是1，而0特征值其重数为；特征值对应的特征向量是0特征值对应的特征向量是方程组： 的非0的解向量，求出其方程组的一个基础解系，就找出了属于0特征值的全部特征向量。 三 矩阵的相似及其性质 1 定义：设,则称相似。 2 性质：（1） （2）若 （3）若 （4）若也相似； （5）若相似； （6）若相似；例如：相似。 （7）若； （8）两个矩阵相似的必要条件 若有相同的特征值；这可以作为两个矩阵相似的必要条件，但不是充分条件。 根据上述结果，进一步可得：若相似，则： 例如矩阵肯定不相似。 若；即如果 例如肯定不相似。 四 特征值与特征向量的计算方法 求特征多项式的全部根，假设互不相同的特征根； 对于每一个特征根，求出方程组的一个基础解系： 这便是特征向量的一般形式为： 五 矩阵可相似对角化及其条件 1 定义：若 2 对角矩阵相似的条件 线性无关的特征向量； 如果一定与对角矩阵相似； 此条件是充分条件，但不是必要条件；即若的特征值未必相同； 实对称矩阵一定相似于对角矩阵； 3 相似与对角矩阵是其相似变换矩阵的求法 设的特征向量，且是线性无关的，从而 注意：上述中；由此可以得到： 4 相似变换矩阵不是唯一的，对角矩阵的形式不是唯一的。 六 对称矩阵及其性质 下面假定矩阵 1 对称矩阵的定义： 2若，则的特征值全是实数； 3 都是正交的；即若 则 4 一定可以对角化；不仅如此，一定存在正交阵 关于正交阵：若 常见题型： 题型1 求数值矩阵的特征值、特征向量； 例1设 求 求的特征值； 解：（1） 故； 解方程组： 解得基础解系： ； 再解方程组 解得基础解系为0； 令 对于本题，还可以进一步要求 为此对 ； 题型2 求抽象矩阵的特征值、特征向量 例1 假设 证明：设 。 例2 设的属于特征值的特征向量是： ； （2）； ； 解：因为，则 。 例 设,则 解 由条件知：从而。 题型3 特征值、特征向量的逆问题 例1 设矩阵，所对应的特征值，试求 解 因为 例2 设三阶矩阵特征向量是： 求。 解：由条件知： 将上面三个式子合起来，就是： 所以： 题型4 矩阵相似的判定及其逆问题 例 已知的特征向量为： 求 解：设对应与均正交，从而 例2 设。 解：由条件知： 例3 设矩阵 解：因为 令； 再令 由上易得，容易求得对应于 令 题型5 方阵能否对角化问题 例1 已知有特征值1， 解：因为是其根，故 由（1）易知 ； 如果另有一个特征根 所以1+1+，从而可以对角化。 例2 已知 解 由条件知 从而： 所以； 当 得到此方程组的一个基础解系只有一个向量： 当，得到此方程组的一个基础解系；因此此矩阵仅有两个线性无关的特征向量，故此矩阵不可对角化。 例3 设矩阵并讨论此矩阵可否对角化？ 解：因为 由条件知， 如果的根，此时 。当 解此方程组的一个基础解系为； 而对应的方程组为： 解此方程组可得此方程组的一个基础解系是：； 这时，A有三个线性无