6数列的综合与应用.doc

精品题库试题 理数 1.(2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分) 若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知￥数列满足，则下列结论中错误的是（　） A. 若，则可以取3个不同的值　 B. 若，则数列是周期为的数列 C. 且，存在，是周期为的数列 D. 且，数列是周期数列 [答案] 1.D [解析] 1.对于A项，若，则由得或；进而推出，或，或. 即或或，故A项正确； 对于B项，若，即，则，…，故数列是周期为的数列. 故B项正确； 对于C项，若且，是周期为的数列，则一定有满足，即，化简得，所以 （舍去）. 此时，满足. 故C项正确； 对于D项，假设且，数列是周期数列，则一定存在使得 ，那么，. 故其后一定有某一项为，且，则，化简得，所以. 因为不可能为有理数，故与假设矛盾. 所以D项错误. 2.(2013课标Ⅰ, 12,5分) 设△AnBnCn的三边长分别为an, bn, cn, △AnBnCn的面积为Sn, n=1,2, 3, …. 若b1 c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1=, cn+1=, 则(　　) A. {Sn}为递减数列 B. {Sn}为递增数列 C. {S2n-1}为递增数列, {S2n}为递减数列 D. {S2n-1}为递减数列, {S2n}为递增数列 [答案] 2.B [解析] 2.由bn+1=, cn+1=得bn+1+cn+1=an+(bn+cn), ① bn+1-cn+1=-(bn-cn), ② 由an+1=an得an=a1, 代入①得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn), ∴bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1), ∵b1+c1-2a1=2a1-2a1=0, ∴bn+cn=2a1 |BnCn|=a1, 所以点An在以Bn、Cn为焦点且长轴长为2a1的椭圆上(如图). 由b1 c1得b1-c1 0, 所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn), 即|bn-cn|=(b1-c1) ·, 所以当n增大时|bn-cn|变小, 即点An向点A处移动, 即边BnCn上的高增大, 又|BnCn|=an=a1不变, 所以{Sn}为递增数列. 3. (2014山西太原高三模拟考试（一），16) 在数列中，已知 ，则???????? . [答案] 3.? [解析] 3.? ，，，，，，. ，又因为，代入解得，同理可得，又因为函数单调函数，所以可得，同理可得，所以. 4.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分) 设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n项和分别为 ，. 若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），则＝____________. [答案] 4.　　 [解析] 4. 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4（T6－T4），得解得故 [来源:学科网] 5. (2014重庆,22,12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*). (Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论. [答案] 5.查看解析 [解析] 5.(Ⅰ)解法一:a2=2,a3=+1. 再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1. 从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列, 故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*). 解法二:a2=2,a3=+1, 可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1. 因此猜想an=+1. 下用数学归纳法证明上式: 当n=1时结论显然成立. 假设n=k时结论成立,即ak=+1,则 ak+1=+1=+1=+1. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以an=+1(n∈N*). (Ⅱ)解法一:设f(x)=-1,则an+1=f(an). 令c=f(c),即c=-1,解得c=. 下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11. 当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,结论成立. 假设n=k时结论成立,即a2kca2k+11. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而c=f(c)f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2. 再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31. 故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11. 这就是说,当n=k+1时结论成立. 综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=. 解法二:设f(x)=-1,则an+1=f(an). 先证:0≤an≤1(n∈N*).① 当n=1时,结论明显成立. 假设n=k时结论成立,即0