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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 PAGE  PAGE 202 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 第八章 圆锥曲线方程 四 轨迹方程 【考点阐述】 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 【考试要求】 （4）了解圆锥曲线的初步应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． 【考题分类】 （一）选择题（共2题） 1.（北京卷理4）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【标准答案】: D 【试题分析】: 把到直线向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。 【高考考点】: 二次函数的定义。 【易错提醒】: 没有转化的意识 【备考提示】: 基本概念、基本技巧、基本运算的训练是基础。 2.（山东卷理10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 （A） (B) (C) (D) 解：对于椭圆，曲线为双曲线，， 标准方程为： （二）解答题（共3题） 1.（海南宁夏卷理23文23）已知曲线C1：，曲线C2：。 （1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； （2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。 解：（Ⅰ）是圆，是直线． 的普通方程为，圆心，半径． 的普通方程为． 因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 ：（为参数）； ：（t为参数）． 化为普通方程为：：，：， 联立消元得， 其判别式， 所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同． 2.（湖北卷理19）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点， ，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程； （Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、. 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分） （Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为. 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为＞0，b＞0）. 则由　 解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ② 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ｜EF｜＝ ＝ 而原点O到直线l的距离d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有 ③ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双???线C相交于不同的两点E、F， ∴.. ② 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜= ③ 当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝ 当E、F在不同支上时（如图2所示）. S△ODE= 综上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF= 若△OEF面积不小于2 　④ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为 3.（浙江卷理20文22）已知曲线C是到点P（-，）和到直线y=-距离相等的点的轨迹.L是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MAl，MBx轴（如图）. （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数. 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解