Matlab笔记蒙特卡罗方法018.docx

18. 蒙特卡罗方法 （一）概述 一、原理 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，是一种基于“随机数”的计算机随机模拟方法，通过大量随机试验，利用概率统计理论解决问题的一种数值方法。其理论依据是：大数定律、中心极限定理（估计误差）。常用来解决如下问题： 求某个事件的概率，基于“频率的极限是概率”； 2. 可以描述为“随机变量的函数的数学期望”的问题，用随机变量若干个具体观察值的函数的算术平均值代替。一般形式为求积分： X为自变量（随机变量），定义域为[a,b], f(x)为被积函数，为概率密度函数。蒙特卡罗法步骤为： (1) 依据概率分布不断生成N个随机数x, 依次记为x1, …, xN, 并计算f(xi); (2) 用f(xi)的算术平均值近似估计上述积分 类比：“积分”同“求和”，“dx”同“1/N”，“”同“服从分布的随机数”； (3) 停止条件：至足够大的N停止；或者误差小于某值停止。 3. 利用随机数模拟各种分布的随机现象，进而解决实际问题。 二、优缺点 优点：能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程；受几何条件限制小；收敛速度与问题的维数无关；误差容易确定。 缺点：收敛速度慢；误差具有概率性；进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的。 三、应用 随机模拟实验，随机最优化问题，含有大量不确定因素的复杂决策系统进行风险模拟分析（金融产品定价、期权）。 （二）用蒙特卡罗法求事件概率 一、著名的“三门问题” 源自博弈论的一个数学游戏：参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后面藏有一辆汽车，而两扇门的后面各藏有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇，若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候，节目主持人会从剩下的两扇门中打开一扇藏有山羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择，选取另一扇仍然关着的门。 该问题涉及到的问题是：参赛者更换自己的选择是否会增加赢得汽车的概率？ 解：这是全概率问题。记结果事件B=“赢得汽车”，造成结果的原因事件有两个： A1=“第一次选到汽车”，A2=“第一次选到山羊” 则P(A1)=1/3, P(A2)=2/3; P(B|A1)=0, P(B|A2)=1. ???用全概率公式， P(B)=P(A1)×P(B|A1)+P(A2)×P(B|A2)=2/3 而参赛者不更换选择，抽中汽车的概率为1/3. 可见，参赛者更换选择可以增加一倍的获奖几率。下面用蒙特卡罗方法来模拟验证上面的理论结果： 将问题“随机数”化，对羊编号为1,2；对汽车编号为3. 先从1,2,3中随机选取一个数，若开始选中1或2，则更换选择后选中3, 即赢得汽车；若开始选中3, 则更换选择后选中1或2，即得不到汽车。 这样的试验重复n次，记录开始选中1或2的次数m（即更换选择后赢得汽车的次数），从而可以确定更换选择后赢得汽车的频率m/n . 由伯努利大数定律，当试验次数n增大时，频率m/n将趋于更换选择后赢得汽车的概率。 代码：先编写SheepAndCar.m函数 function p=SheepAndCar(n) % n可以是正整数，也可以是正整数的向量 for i=1:length(n) x=randsample(3,n(i),true); % 从1,2,3中随机抽取n(i)个数, true表示可以重复 p(i)=sum(x~=3)/n(i); end 再执行代码：（分别模拟10次、100次、……、1000000次） p=SheepAndCar([10,100,1000,10000,100000,1000000]) 运行结果： p = 0.6000 0.7200 0.6910 0.6641 0.6671 0.6666 二、用蒲丰投针法求圆周率π 【蒲丰投针问题】：平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面内任意投掷一枚长为h（hd）的针，求针与任一平行线相交的概率。 用Y表示针的中点与最近一条线的距离，用X表示针与此直线间的夹角，则(X, Y)为二维随机变量，其样本空间为平面上的矩形区域： 由于是任意投掷，(X, Y)在Ω上服从均匀分布。 记事件A=“针与平行线相交”，则A所对应的区域为 由几何概率知，事件A的概率为 若h, d已知，代入上式就可求出P(A). 反过来，由P(A)的值也可以求. P(A)可以通过蒙特卡罗方法随机模拟获得：在区域Ω随机均匀投点，落在区域A中的点的频率fA，随着投点次数的增大，就趋于概率P(A). 从而 代码：先编写BuffonMonteCarlo.m函数 function [p0,pm,piv] = BuffonMonteCarlo(d,h,N) %返回p0为理论概率,pm为基于蒙特卡罗法的模拟概率,piv为pi的模拟