Runge-Kutta方法-数值分析.doc

第八章　常微分方程数值解8.3 Runge-Kutta方法8.3.1 显式 Runge-Kutta法的一般形式　　上节已给出与初值问题(8.1.1)等价的积分形式　　　　　　　　　　(8.3.1)只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(8.1.1)的数值方法，若用显式单步法　　　　　　　　　　(8.3.2)当，即数值求积用左矩形公式，它就是Euler法(8.2.2)，方法只有一阶，若取　　　　　　　　　(8.3.3)就是改进Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的一种近似，计算时要用二个右端函数f的值，但方法是二阶的.若要得到更高阶的公式，则求积分时必须用更多的f值，根据数值积分公式，可将(8.3.1)右端积分表示为　　　　　注意，右端f中还不能直接得到，需要像改进Euler法(8.2.11)一样，用前面已算得的f值表示为(8.3.3)，一般情况可将(8.3.2)的表示为　　　　　　　　　　　　　　　(8.3.4)其中　　　　　　　　　　　　 这里均为待定常数，公式(8.3.2)，(8.3.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K方法.它每步计算r个f值(即)，而ki由前面(i-1)个已算出的表示，故公式是显式的.例如当r=2时，公式可表示为　　　　　　　　　　　　(8.3.5)其中.改进Euler法(8.2.11)就是一个二级显式R-K方法.参数取不同的值，可得到不同公式. 8.3.2 二、三级显式R-K方法　　对r=2的显式R-K方法(8.3.5)，要求选择参数，使公式的阶p尽量高，由局部截断误差定义　　　　　　　　(8.3.6)令，对(8.3.6)式在处按Taylor公式展开，由于　　　　　　 将上述结果代入(8.3.6)得　　　　　　 要使公式(8.3.5)具有的阶p=2,即，必须　　　　　　　　　　　(8.3.7)即　　　　　　　　由此三式求的解不唯一.因r=2，故，于是有解　　　　　　　　　　　　　　(8.3.8)它表明使(8.3.5)具有二阶的方法很多，只要都可得到二阶R-K方法.若取，则，则得改进Euler法(8.2.11)，若取，则得，此时(8.3.5)为　　　　　　　　　　　　　　(8.3.9)其中　　　　　　　称为中点公式.后退Euler法(8.2.11)及中点公式(8.3.9)是两个常用的???级R-K方法，注意二级R-K方法只能达到二阶，而不可能达到三阶.因为r=2只有4个参数，要达到p=3则在(8.3.6)的展开式中要增加3项，即增加三个方程.加上(8.3.7)的三个方程求4个待定参数是无解的.当然r=2,p=2的R-K方法(8.3.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，一般不再给出.　　对r=3的情形，要计算三个k值，即　　　　　　　　　其中　　　　　　　　　　　　　　　　将按二元函数在处按Taylor公式展开，然后代入局部截断误差表达式，可得　　　　　　　　　 可得三阶方法，其系数应满足方程　　　　　　　　　 (8.3.10)这是8个未知数6个方程的方程组，解也是不唯一的，通常.一种常见的三级三阶R-K方法是下面的Kutta三阶方法：　　　　　　　　　　　　　　(8.3.11)　　　　　　　　　 8.3.3 四阶R-K方法及步长的自动选择　　利用二元函数Taylor展开式可以确定(8.3.4)中r=4,p=4的R-K方法，经典的四阶R-K方法是：　　　　　　　　　　　(8.3.12)　　　　　　　　　它的局部截断误差，故p=4,这是最常用的四阶R-K方法，数学库中都有用此方法求解初值问题的软件.这种方法的优点是精度较高，缺点是每步要算4个右端函数值，计算量较大.　　例8.3 　用经典四阶R-K方法解例7.1的初值问题，仍取h=0.1，计算到，并与改进Euler法、梯形法在处比较其误差大小.　　解 用四阶R-K方法公式(8.3.12)，此处，于是当n=0时　　　　　　　　 于是，按公式(8.3.12)可算出　　　　　　　　此方法误差：　　　　　　　　　改进Euler法误差：　　　　　　　梯形法误差：　　　　　　　　　可见四阶R-K方法的精度比二阶方法高得多.　　用四阶R-K方法求解初值问题(8.1.1)精度较高，但要从理论上给出误差的估计式则比较困难.那么应如何判断计算结果的精度以及如何选择合适的步长h?通常是通过不同步长在计算机上的计算结果近似估计.设在处的值,当时，的近似为，于是由四阶R-K方法有　　　　　　　　　　　　　　　　若以为步长，计算两步到，则有