《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解两角和与差的正弦余弦和正切公式(含解析).doc

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法 第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [知识能否忆起] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)； (6)T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β). 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (2)cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2)； (3)1??sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))). [小题能否全取] 1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则eq \f(sin 2α,cos2α)的值等于(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．6 解析：选D　eq \f(sin 2α,cos2α)＝eq \f(2sin αcos α,cos2α)＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．1 解析：选B　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2). 3．已知sin α＝eq \f(2,3)，则cos(π－2α)等于(　　) A．－eq \f(\r(5),3) B．－eq \f(1,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(\r(5),3) 解析：选B　cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq \f(4,9)－1＝－eq \f(1,9). 4．(教材习题改编)若cos α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________ 解析：由已知条件sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(3,5)， sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)sin α＋eq \f(\r(2),2)cos α＝－eq \f(7\r(2),10). 答案：－eq \f(7\r(2),10) 5．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(2,5)，则tan α＝________. 解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝eq \f(2,5)， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－eq \f(3,7). 答案：－eq \f(3,7) 　　　1.两角和与差的三角函数公式的理解： (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”． (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝