《数学分析》14无穷小量与无穷大量.doc

《数学分析》教案 §５　无穷小量与无穷大量 教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。 教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。 引言 在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：. 我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： 　 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。 既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？ 以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。 一、无穷小量 1．定义１：设在某内有定义。若，则称为当时的无穷小量。记作： . （类似地可以定义当时的无穷小量）。 例：都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；是时的无穷小量。 2．无穷小量的性质 （１）先引进以下概念 定义２（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作： . 例如：是当时的有界量，即; 是当时的有界量，即. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ０，在定义域内每一点，都有。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。 （２）性质 性质１　两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。 性质２　无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。 性质３　是当时的无穷小量. 例如；，. 问题：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑： . 引申：同为无穷小量，，而不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级别”表现在收敛于０（或趋近于０）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当时，的指数越大，它接近于０的速度越快。这样看来，当时，的收敛速度快于的收敛速度。所以其变化结果以为主。此时称是（当时）的高阶无穷小量，或称时， 是的低阶无穷小量。 一般地，有下面定义： 无穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似） 设当时，均为无穷小量。 若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作. 即. 例 ，. 问题 ，此时是可说？ 引申 与上述记法：相对应有如下记法：，这是什么意思？含义如下： 若无穷小量与满足关系式，则记作. 例如，（１），. （２）若. 注 等式，等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“”。例如：，其中，而上述等式表示函数。为方便起见，记作 若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量。 但需要注意：不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量。如，不存在。但，所以与为当时的同阶无穷小量。 由上述记号可知：若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：。 若，则称与是当时的等价无穷小量，记作. 例如：１）; ２）. 对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。 定理 设函数、、在内有定义，且有. (1) 若，则；(2) 若，则 求. 求极限. 注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。 ３．小结 以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。 例如. 二、无穷大量 １．问题 “无穷小量是以０为极限的函数”。能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。 答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数当时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”。但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近。 例如：１），当时，与越来越接近，而且只要与０充分接近，就会无限增大；２），当时，也具有上述特性。 在分析中把这类函数称为当时有非正常极限。其精确定义如下： ２．非正常极限 定义２（非正常极限）　设函数在某内有定义，若对任给的Ｍ0，存在，当时有，则称函数当时有非正常极限，记作。 注：１）若“”换成“”，则称当时有非正常极限；若换成 则称当时有非正常极限，分别记作. 2) 关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列　当时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如： ，当时，; 　，，当时，. ３．无穷大量的定义 定义３．对于自变量的某种趋向（或），所有以为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。 例如