- 1、本文档共16页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
《电动力学》公式推导荟萃
1. 电磁场能量守恒定律的推导
应用麦克斯韦方程组
和洛仑兹力公式及,结合公式
可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为
令
则给出电磁场能量守恒定律的微分形式为
对应的积分形式为
注释:
对于各向同性线性介质,,由给出能量密度为
而为能流密度矢量,或称为坡印亭(Poynting)矢量。
************************************************
练习:将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧,试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势满足泊松方程的推导
对于各向同性线性介质,将,代入得
即
对于均匀介质, 有,上式给出
此即为静电势满足的泊松(poisson)方程,其中为自由电荷体密度。
注释:
当,或时,均有,仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导
在线性介质中,电场总能量为
对于静电场,利用给出
所???
又,故
注释:
(1)电场能量分布于空间电场中。在静电情形下,电场决定于电荷分布,场内没有独立的运动,因而静电场的总能量可以由电荷分布决定。
(2)不能视为静电场能量密度,上式只对静电场的总能量才有意义(因为静电能不是分布在电荷上)。
(3)静电相互作用能为,其中为外电场的电势。
4. 静磁场矢势满足微分方程的推导
因为,有。对于各向同性线性介质,将及代入静磁场方程,得
运用库仑条件,经整理给出
对于均匀介质, 有,上式给出
此即为静磁场矢势满足的微分方程,其中为传导电流体密度。
注释:
当,或时,均有,此时仍满足上述方程。
5. 静磁场能量公式的推导
在线性介质中,磁场总能量为
对于静磁场,结合公式,应用磁场方程可给出
所以
又,故
注释:
(1)磁场能量分布于空间磁场中。在静磁场情形下,磁场决定于稳恒电流的分布,因而静磁场的总能量可由电流分布决定。
(2)不能看作为静磁场的能量密度,上式只对静磁场的总能量才有意义(因为磁能不是分布在电流上)。
(3)在外磁场中的相互作用能为。
6. 磁标势满足的微分方程的推导
在的区域内(且),静磁场方程为
对介质方程的两边取散度,得
令磁荷密度为
代入静磁场方程给出(以为基本量----磁荷观点):
由(1)式引入磁标势
代入(2)式,则得磁标势满足的微分方程为
7. 波动方程的推导
以真空情况为例加以推导。由无源麦克斯韦方程组出发
运用公式
对(2)式取旋度,并应用第(3)、(4)式得
则
同理,对(4)式取旋度,并用第(1)、(2)式得
则
令,则得波动方程如下
注释:
在介质中,对于一定频率的电磁波,上述波动方程成为
其中波速
8. 亥姆霍兹方程的推导
[方法一]
对于一定频率的时谐电磁波,有。设电磁场量的形式为
则有代换关系,此时无源区域的麦克斯韦方程组成为
① 对(2)式两边取旋度,并利用(1)、(4)式得
即电场满足的亥姆霍兹方程为
其中波数。由此式解出后,进一步便可由(2)式得到磁场:。
② 同理,对(4)式两边取旋度,并利用(2)、(3)式,可得磁场满足的亥姆霍兹方程为
进一步由(4)式可给出:。
注释:
(1)上述推导过程给出两种研究电磁波的途径;
(2)为横波条件。
--------------------------------------
[方法二]
对于一定频率的时谐电磁波,设电磁场量的时空变量分离形式为
利用代换关系,由波动方程
可以直接给出
此即为亥姆霍兹(Helmholtz)方程。
9. 平面电磁波性质的推导
对于平面波
有,并且。结合,此时不含源的麦克斯韦方程组
成为
其中(1)式、(3)式表明;而由(2)式或(4)式给出
或,所以。由此给出平面波的性质为:
①,即电磁波为横电磁(TEM)波;
②,并且三者组成右手系;
③同相位;
④大小成比例,。
注释:
(1)因为
;同样可得,即相当于
(2)对于平面波,因为,所以,即电场能量密度等于磁场能量密度;并且,其中。
10. 导体中自由电荷随时间变化规律的推导
设导体内有自由电荷分布,在均匀介质中激发的电场满足方程
,
而欧姆定律为,所以
此外,运用电荷守恒定律
给出
解此微分方程,得电荷分布随时间的变化规律为
其中为时的电荷分布。
11. 导体中电磁场关系的推导
考虑平面电磁波沿Z轴正向垂直入射至导体,则导体中复波矢可写为
且,可把电场表示为
由麦克斯韦方程组()
其中的第(2)式,结合及代换关系,得
有
在垂直入射下,通常,所以,有。而对于良导体,有,,所以
注释:
与真空或介质中电磁波的性质(见第9条推导)相比,导体中的平面电磁波虽然仍是TEM波,但其性质发生明显变化:
(1)电场与磁场不同相位;
(2)(而在介质中时,此比值等于1);
(3)导体
您可能关注的文档
最近下载
- 2025年中国电子信息产业集团有限公司招聘笔试参考题库含答案解析.pdf
- 《电磁兼容+试验和测量技术+第11部分:对每相输入电流小于或等于16+a设备的电压暂降、短时中断和电压变化抗扰度试验gbt 17626.11-2023》详细解读 .pdf
- 合肥市申领居住证的申请.docx
- 高考二轮复习资料专题二2.2 动能定理和动量定理(二).doc VIP
- 2024年重庆市中考地理试题卷(含官方答案及解析).docx
- 湖北省恩施市第一中学2025届高三最后一模数学试题含解析.doc
- 2024年河南经贸职业学院单招职业技能测试题库及答案解析.pdf VIP
- 2022年版语文课程标准新课标考试题库及答案6.pdf
- 试卷讲评教学反思(8篇).pdf VIP
- 钢结构施工技术交底..doc VIP
文档评论(0)