数学专业学年论文数学专学年论文.doc

7 学号 1250901301PAGE \* MERGEFORMAT1 学年论文 （2012级本科） 题 目: 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 柴丽娜 指导教师： 李劲 职称： 教授 完成日期： 2014 年 12 月 20 日 二○一四年十二月 泊松分布、二项分布、正态分布之间的关系及应用 柴丽娜 指导教师：李劲 （河西学院数学与应用数学专业2012级3班1250901301号, 甘肃张掖 734000） 摘 要 二项分布、Poisson分布与指数分布是概率统计的基础,这3个分布存在密切的关系.本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例. 关键字 泊松分布；二项分布；正态分布；特征函数 中图分类号 O211 1 引言 许多数学教材中常常只是介绍了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等重要的概率分布,给出它们的分布列、密度函数、它们的期望和方差,但是很少讨论出这些分布之间的关系.在学习概率统计等时,常常认为这些重要概率分布之间没有什么联系,但是这些分布中间还有很多重要的关系. 本文将通过极限分布的方法讨论二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系,进一步揭示它们之间的内在联系,并给出有关近似计算公式和应用实例. 2 预备知识 2.1 相关定义 定义（二项分布） 在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生的概率为p（0p1）,记X为n次试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,2,…,n.且对每一个k,0≤k≤n,事件｛X=k｝即为“在n次试验中事件A恰好发生k次”,根据伯努利概型,有 P｛X=k｝=,k=0,1,2,…,n （1） 一般地,如果一个随机变量X的概率分布由（1）给出,则称X服从参数为n,p的二项分布,并记作,且记 . 定义（泊松（poisson）分布） 如果一个随机变量X的概率分布为 （2） 其中为参数,则称X服从参数为的泊松分布,记作. 定义 (正态分布) 一个连续性随机变量X,如果其密度函数为 （3） 其中,,为常数,则称X服从参数为和的正态分布,记作.此时称X为正态变量. 特别地,若,,则称X服从标准正态分布,其概率密度函数为 定义(特征函数) 若随机变量X的分布函数为F(x),则称 （4） 为X的特征函数.如果F（x）有密度f(x),则就是f(x)的Fourier变换 2.2相关定理 定理特征函数的一个重要定理（唯一性定理）：分布函数由其特征函数唯一确定. 证明 设A是F(x)的一切连续点的集合,对任意的,由逆转公式有 所以,对于一切,的值唯一的由其特征函数所决定. 若,利用分布函数的右连续性,选一列单调下降的趋于x的的连续点,则有 于是,对于一切的,的值亦唯一的由其特征函数所决定. 2.3相关结论 结论1 二项分布B（n,p）：其概率分布为 其特征函数为 结论2 泊松分布：设,则其概率分布为 其特征函数为 结论3 正态分布：其密度函数为 其特征函数为 3 主要结论及证明（三大分布之间的关系） 3.1 二项分布与泊松分布的关系（二项分布的poisson逼近） 定理1 二项分布X：b(n,p),如果n很大,而P很小,设,n为任意的正整数,,则对于任意给定的一个非负整数k,有 . 证明 由 当固定, 故有 所以当n很大时,p很小时有下列近似公式 3.2 二项分布和正态分布之间的关系 定理 设随机变量,则对于任意x,有 由上式可以得出当n充分大时,二项分布可以用正态分布来近似,即二项分布的正态逼近. 例 和在n充分大时计算非常困难. 由于近似服从N（0,1）或等价地近似服从,于是可以近似地用正态分布来计算上述概率,即 只要查一下标准正态分布表就可以得到的相当精确的值. 3.3 泊松分布与