三阶幻方的构造方法.doc

PAGE  PAGE 4 三阶幻方的构造方法 洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑． 所谓洛书，指的是用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于15.古时候称九宫图　，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法． 　　　　一　　　凑 这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的． 　　　　二　　　转 第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的． 　　　　　　　　　　　　 图一＂排＂　　　　图二　＂转＂　　　　图三　＂对换＂ 　　　　三　杨辉法　 我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七． 　　　　　　 图四　九子排列　　　　　　　图五　　上下对易 　　　　　　　　 　图六　左右相更　　　　　　　图七　　四维挺出 　　四　　　罗伯法　　　 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的． 1居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八． 　　 　　　　　　　　　 图八　　　　　　　　　图九　　　　　　　　图十　　　　 巴舍法 先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十． 　　五　行列交会法 首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂??法则确定．作出的结果如图十三． 　　　　 图十一　　　　　　图十二　　　　 　　　　　 图十三　　　　　　图十四　　　　　 　　　六　　数学解法　 设图十四构成三阶幻方，列出方程组 由(7)+(8)+(2)=(4)+(6)+知得 由(1)+(2)得代入 得 若　　则矛盾　　　所以 若则则只有或只考虑其中一种　以代入得　矛盾　所以 令　　代入（9）得　　则只有　或　不妨取. 以 以 以 以 以 从而得到三阶幻方的解． 　　　　　　七　　　奇偶分析法 在＂六＂中得到以后，将其代入(2),(5),(7),(8)得到： 由以上四个方程可以看出的奇偶性相同，又幻方交换一三两行后仍然是幻方，交换一三两列后仍然是幻方，所以四个角的奇偶性是相同的．今断言，四个角上的数字不能是奇数，如果四个角上的数字是奇数，那么只能是偶数于是矛盾．所以只能是偶数．由(12),(13)可知，而且只有2+8,4+6,不妨取随后便可确定的值． 参考材料： ［1］张君达　《小学数学奥林匹克数学专题讲座》　　北京师范学院出版社　1987年北京版　第24页　　 中师教育研究 1995年第二期