不尽的探索　无穷的乐趣.doc

不尽的探索　无穷的乐趣 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞 引例??如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，试判断∠BOC与∠A的关系？说明你的理由． ? ??????????????????　　　　　　　????????????????? ???????????? 　　　　　　　　　　　　　　　　　图1 ? 解：∠BOC=90°+∠A． ? 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ? ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB． ? ∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)． ? 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A． ? ∴∠1+∠2=(180°-∠A)=90°-∠A． ? 在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2) ? =180°-(90°-∠A)=90°+∠A． ? 由此我们得到这样一个结论： ? 结论1：三角形两内角平分线的夹角等于第三个内角的一半的余角的补角． ? 如果把题目中的内角平分线，改为外角的平分线，那么∠BOC与∠A的关系又如何呢？ ? 探索一：如图2，△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分线相交于点O，试判断∠BOC与∠A的关系？说明你的理由． ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ??????????????? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2 ? 解：∠BOC=90°-∠A． ? 理由：∵BO平分∠CBM，CO平分∠BCN， ? ∴∠1=∠CBM，∠2=∠BCN． ? ∴∠1+∠2=(∠CBM?+∠BCN)． ? ∵∠CBM=180°-∠ABC，∠BCN=180°-∠ACB， ? ∴∠CBM?+∠BCN=360°-(∠ABC+∠ACB) ? =360°-(180°-∠A)=180°+∠A． ? ∴∠1+∠2=(180°+∠A)=90°+∠A． ? 在△BOC中，∠BOC=180°-(∠1+∠2) ? =180°-(90°+∠A)=90°-∠A． ? 说明：在计算∠CBM?+∠BCN时，也可利用三角形的外角性质，即∠CBM=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，所以∠CBM?+∠BCN=(∠A+∠ACB+∠ABC)+∠A=180°+∠A． ? 为了利用结论1，本题也可以这样说明理由： ? 如图3，分别作∠ABC和∠ACB的平分线BP和CP，BP和CP相交于点P，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们自己探索)，可得∠PBO=90°，∠PCO=90°．又四边形PBOC的内角和等于360°，所以∠BOC=360°-90°-90°-∠BPC=180°-∠BPC． ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ???????????????????????????????????? 　　　　　　　　　　　　　图3 ? 　　利用结论1，可得∠BPC=90°+∠A． ? 　　所以∠BOC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A． ? 由此我们得到这样一个结论： ? 结论2：三角形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角． ? 以上分别是两内角平分线与两外角平分线相交的情况，如果是一内角的平分线与一外角的平分线相交，结果又会如何呢？ ? 探索二：如图4，在△ABC中，内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点O，试说明∠BOC与∠A的关系？说明你的理由． ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ?????????????? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4 ? 解：∠BOC=∠A． ? 理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD， ? ∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2． ? 　　又∠2是△BOC的外角， ? ∴∠2=∠1+∠BOC，即∠BOC=∠2-∠1． ? 又∠ACD是△ABC的外角， ? ∴∠ACD=∠ABC?+∠A，即∠A=∠ACD?-∠ABC． ? 　　∴∠A=2∠2-2∠1=2(∠2-∠1)=2∠BOC． ? 　　∴∠BOC=∠A． ? 　　为了利用结论1，本题也可以这样说明理由： ? 如图5，作∠ACB的平分线CP交BO于点P，利用结论1可知∠BPC=90°+∠A．根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知∠PCO=90°．又∠BPC是△PCO的外角，所以∠BPC=∠BOC+∠BPC，即90°+∠A=∠BOC+90°．∴∠BOC=∠A． ? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ???????????????? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5 ? 　　为了利用结论2，本题也可以作△ABC的外角平分线与CO的反向延长线相交于点P(如图6)，易证CP是△ABC的外角∠BCE的平分线，根据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知∠PBO=90°．又由结论2可知∠BPC=90°-∠A，所以∠B