概率论第五章习题解答概论第五章习题解答.doc

第五章习题解答 1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h的概率。 解　　设这16只元件的寿命为，，则， 因为， 于是随机变量　近似的服从 ＝. 2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为，（以千美元计）服从韦布尔分布，均值，方差求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。 解　（1）设每个投保人索赔金额为，，则索赔总金额为 又 ，，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率 　　　　　 　　　　　 近似的服从 即　　　 　　（2） 　　　　　　　　　 3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布， 　　（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ 　　（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解　设每个加数的舍入误差为，，由题设知相互独立同分布，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而 　　， (1)、记，由独立同分布的中心定理有近似的服从，从而　　 　 。 　　　　　　　 （2）、记，要使　，由独立同分布的中心极限定理， 近似地有 　 　即　　，查表得 　令　　，解得　。 即最多可有443个数相加，可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90。 4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，圴方为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？ 解　设每只零件的重量为，，由独立同分布的中心极限定理知 近似地服从 则　　　 　　　　 　　　　＝1－0.9207＝0.0793。 5、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30要短于3m的概率。 解　把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在100次试验中长度不小于3m的根数记作，则是随机变量，且，其分布律为 　　　， 所求的概率为　 由德莫弗――拉普拉斯定理可求它的近似值 　　　　　　 　　　　　　　　　　　。 6、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成任务的概率。 解　设修理第（）台机器，第一阶段耗时，第二阶段为，则共耗时为 已知因为指数分布的数学期望为，方差，即，，，，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故　 20台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即　　 而所求概率　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 即不大可能在8小时内完成任务。（因为完成任务的可能性不到20%） 7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3，0.2，0.5。若售出300只蛋糕， （1）求收入至少400元的概率。 （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。 解　设第格为为（），其分布律 　 　　  0.3 0.2 0.5 由此得 　　　（即平均收入） 以表示总收入，即，由独立同分布中心极限定理，得 　　　 则收入超过400元的概率为 　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 。 　（2）以记300只蛋糕中售价为元的蛋糕数，于是 ，（出售这种蛋糕的平均只数）， (二项分布的方差) 售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为 　　 　　　　　　　 　　　　　　　 （即有50%的可能售出60只价格为1.2元的蛋糕。） 8、（1）一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。 （2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于0.95。 解　（1）设正常工作的部件数为 （）， 由题设知（）相互独立，且，，设，则。由德莫弗――拉普拉斯定理知，近似地服从正态分布，从而 　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 （2）设