三角形全等模型解决几难题[]三角形全等模型解决几何难题[].doc

建立“双直角三角形全等”模型解决几何难题 复习策略 D C B A E H 图1 复习时，重点训练“双直角三角形全等”的判定及应用，培养学生的建模思想，并能应用数学模型来解决探究性问题的能力。 【引例】在△ABC中，AD⊥BC, BE⊥AC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD D C B A E H 图2 求证：BH=AC 【析解】证明线段相等最常用的方法就是证明三角形全等。在本题中，已知BD=AD，∠ADB=∠ADC=90°,再找一对元素对应相等即可。这里只能找一对角对应相等，不妨证∠HBD=∠CAD.方法一：利用等角（∠AHE=∠BHD）的余角相等来证明； 方法二：利用∠C的余角相等证明，学生由AAS很容易证得。 【评注】本题中两个直角三角形的位置，可以看作一个是站着的Rt△ADC，一个是躺着的Rt△BDH，我们把具有这种位置关系的两个直角三角形作为一种数学模型，即“双直角三角形全等模型”，来加以演变和应用，从而轻松地解决我省08年的一道中考题。 【应用】（湖北08中考6）．如图2，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为（ ） A． B．4 C． D．5 【析解】求BH的长，实际上就是证明BH=AC，因为AD⊥BC, ∠ABC=45°,所以，AD=BD, 从而就转化为引例的证明。本例就是“双直角三角形全等模型”的应用。 变式训练【变形一】改变引例中条件和结论的位置，可以得到下列命题： 已知：△ABC中，AD⊥BC于D, E为AC上一点，AD交BE于H, 且BH=AC, BD=AD. 求证：BE⊥AD 【析解】由已知，易得Rt△BDH≌Rt△ADC(HL), ∴∠CAD=∠HBD, 再证BE⊥AD,有两种方法： 方法一：在△AEH和△BDH中，因为 ∠AHE=∠BHD， 由三角形内角和定理可得∠AHE=∠BDH = 90°,即得BE⊥AD。 方法二：在Rt△ADC中，∠CAD + ∠C = 90°, ∴∠HDB + ∠C = 90°,由三角形内角和定理可得∠BEC= 90°,即得BE⊥AD。 【评注】证明垂直对于学生来说比较难，一定要让学生能正确地书写证明过程，从而为解决08年中考试题打好基础。 【变式二】让学生对引例变形，得到新的命题。 【评注】在许多命题中，都可以适当改变条件或结论，得到新的命题，即“一题多变”，从而对某个问题举一反三，加深理解。这样不仅训练了学生的创新思维，也提高了学生的积极性和主动性。 【应用二】（08河北中考第24题）如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC = BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【析解】 本题通过平行移动构造对图形的三种状态，蕴含了让学生经历观察、动手操作、猜测、合理而且将关注“变化过程中存在的不变量（垂直且相等）”这一重要的数学基本观念作为考查核心．试题的要求层次分明—其区别的实质在于对问题情境中“变化过程中蕴涵的不变因素——平移”现象的领悟，既抓住了问题的关键所在，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现尊重学生的数学差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，提高试题的信度和效度． （1）比较简便，AB=AP, AB⊥AP (2)由第（1）问得到启发，BQ=AP ,BQ⊥AP 证明的方法：我们看Rt△BQC和Rt△ACP和引例中两个直角三角形的位置很类似，所以可以转化为这个数学模型来证明。较难的一步就是找第三对元素对应相等，因为△EFP是等腰三角形，所以∠QPC=45°,又AC⊥BC,∴CQ = CP ,由SAS判定两三角形全等即可。 （3）尽管图形位置变了，但结论和证明方法并没有改变。可以让学生试着做一下，证明确有难度的话，可以再给提示。 课题总结： 几何命题的证明方法很多，但只要能找到规律，找到“数学模型”，那么，我们就可以“以不变应万变“，任何难题都可以迎刃而解。所以，我们在以后的学习过程中，要不断寻求新的数学方法，逐步提高自己的技能和技巧。 练一练 （2006年辽宁沈阳25题）.如图1，在正方形A