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高中全程复习方略配套课件:11-32项式定理
第三节 二项式定理 ;三年10考 高考指数:★★★
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.;1.二项展开式的通项公式的应用,利用通项公式求特定的项或特定项的系数,或已知某项,求指数n等是考查重点;
2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法,也是高考考查的热点;
3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题为主.;1.二项式定理;【即时应用】
(1)思考:(a+b)n展开式中,二项式系数 (r=0,1,2,…,n)与展
开式中项的系数相同吗?
提示:不一定.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,
二项式系数是指 ,它只与各项的项数有关,
而与a,b无关;而项的系数是指该项中除变量外的部分,它不
仅与各项的二项式系数有关,而且也与a,b所代表的项有密切
关系.;(2) =______.
【解析】原式=(1-2)11=-1.
答案:-1;(3) 的展开式中,x3的系数等于______.
【解析】 的通项为
令
得r=2, ,故x3的系数为
答案:15;2.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
_________.
(2)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于___,
即____________________.
(3)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项
式系数的和,即;【即时应用】
(1)若 的展开式中第3项的二项式系数是15,则展开式中所有项的系数之和为______.
(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0-a1+a2-a3+a4等于_______.
(3)已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0 +a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于_______.;【解析】(1)依题意,得 =15,即 =15,n(n-1)=
30(其中n≥2),由此解得n=6,因此展开式中所有项的系数之
和为
(2)由题意可知,令x=-1,代入式子,可得a0-a1+a2-a3+a4=
[3-(-1)]4=256.
(3)分别令x=1、x=-1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,a0-
a1+a2-a3+a4-a5=32,由此解得a0+a2+a4=16,a1+a3
+a5=-16,所以(a0 +a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.
答案:(1) (2)256 (3)-256 ; 求二项展开式中特定的项或特定项的系数
【方法点睛】
1.理解二项式定理应注意的问题
(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项,而不是第“r”项;
(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒;
(3)展开式中第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出差错.;2.求特定项的步骤
第一步:根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n为正整数,r为非负整数,且r≤n);
第二步:根据所求项的指数特征求所要求解的项. ;【例1】(1)(2012·宁波模拟)在 的展开式中,系数为有理数的项共有______项.
(2)(2012·六安模拟)如果(1+x2)n+(1+x)2n(n∈N*)的展开式中x项的系数与x2项的系数之和为40,则n的值等于______.
(3)(2012·黄山模拟) 展开式中x2的系数为______.;【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征,然后由二项
展开式的通项找出符合条件的项的个数.
(2)分别写出(1+x2)n与(1+x)2n的通项,再分别求出x项与x2项的
系数进而求出n.
(3)先明确(1-x)4与 的通项,再让通项相乘,可得(1-
x)4 的通项,最后分情况讨论即可.;【规范解答】(1)∵
要求系数为有理数的项,则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知,当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.
答案:6
(2)∵(1+x2)n的通项
(1+x)2n的通项
∴令r=1,r′=1,r′=2得:;∴n2+n-20=0,∴n=4.
答案:4
(3)∵(1-x)4的通项
r∈{0,1,2,3,4}
的通项Tr′+1= ,r′∈{0,1,2,3}
∴
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