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1.01映射与函数5b
潘月君——理学院
公共邮箱:maths-sdut@163.com
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引 言
一、高等数学的研究对象
初等数学
— 研究对象为常量,
以静止观点研究问题.
高等数学
— 研究对象为变量,
运动和辩证法进入了数学.
极限方法是研究变量的一种基本方法.
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
2. 学数学最好的方式是做数学——多看多练多想.
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 (上册 第1章)
2. 微积分学: 一元微积分(上册 第2、3、4、5、6章)
5. 向量代数与空间解析几何(下册)
4. 无穷级数(下册)
3. 微分方程(上册 第7章)
三、高等数学的主要内容
多元微积分(下册)
参 考 书 目
<高等数学解题方法及同步训练>
同济大学编(同济大学出版社)
<高等数学附册 学习辅导与习题选解>
同济大学编(同济大学出版社)
第一章
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
函数与极限
重点
极限概念,无穷小与极限的关系,极限运算法则,两个重要极限,连续概念,初等函数的连续性,间断点及其分类
难点:极限概念及求极限的方法技巧
第一章
二、映射
三、函数
一、集合
第一节
映射与函数
元素 a 属于集合 M, 记作
元素 a 不属于集合 M , 记作
一、 集合
1. 集合的概念
定义 1.
具有某种特定性质的事物的总体称为集合(简称集)。
组成集合的事物称为元素(简称元).
不含任何元素的集合称为空集 ,
记作 .
注: M 为数集
表示 M 中排除 0 的集 ;
表示 M 中排除 0 与负数的集 .
通常用大写字母A, B, C,…表示集合,用小写字母a, b, c,…表示元素。
表示法:
(1) 列举法:
按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
自然数集
(2) 描述法:
x 所具有的特征
例: 整数集合
或
有理数集
p 与 q 互质
实数集合
x 为有理数或无理数
分类:
有限集,
无限集.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,
定义2 .
则称 A
例如 ,
显然有下列关系 :
若
设有集合
记作
必有
若
且
则称 A 是 B 的真子集,
定义 3 . 给定两个集合 A, B,
并集
交集
且
差集
且
定义下列运算:
余集
直积
特例:
为平面上的全体点集
或
2. 集合的运算
集合的运算法则(P3)
开区间
闭区间
无限区间
半开区间
3. 区间和邻域
点 a 的 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
去心 邻域
左 邻域 :
右 邻域 :
二、 映射
1. 映射的概念
某校学生的集合
学号的集合
某班学生的集合
某教室座位
的集合
引例1.
引例2.
例2.
(点集)
(点集)
向 y 轴投影
定义4.
设 X , Y 是两个非空集合,
若存在一个对应规
则 f ,
使得
有唯一确定的
与之对应 ,
则
称 f 为从 X 到 Y 的映射,
记作
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,
记作
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集
称为 f 的 值域 .
对映射
若
, 则称 f 为满射;
若
有
则称 f 为单射;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为双射 或一一映射.
注意:
1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 .
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
例.
海伦公式
例.
如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射
(满射)
例.
如图所示,
则有
(满射)
(满射)
X (数集 或点集 )
说明:
在不同数学分支中有不同的惯用名称.
X (≠ )
Y (数集)
f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
R
f 称为定义在 X 上的为函数
映射又称为算子.
例如,
2. 逆映射与复合映射
(1) 逆映射的定义
定义:
若映射
为单射,
则存在一新映射
使
习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
其中
称此映射
为 f 的逆映射 .
(2) 复合映射
手电筒
D
引例.
复合映射
定义.
则当
由上述映射链可定义由 D 到 Y 的
设有两个映射
记作
复合映射 ,
时,
或
注意: 构成复合映射的条件
不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
例4. 映射
定义域
三、函数
1. 函数的概念
f ( D
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