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二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用 作者：丁月明 指导老师：浦和平 关键词：变量代换 三重积分 摘要：由课本上对二重积分变量代换的简介，我们可以看出此方法在某些情况下简化了积分运算，而在三重积分中是否也存在此类变量代换呢，本文将把变量代换推广至三重积分，并给出其存在性的证明，和具体应用。 一·对存在性的证明 记F于有界集Duv连续，F必一致连续， 即对, 有当时，成立。 由积分中值定理，得 ，由于Di是di的值域，，使得 存在， 有 二·变换方法的推导 1·从几何角度的证明 存在三个交线互不平行的曲面f（x，y，z）=u0，g（x，y，z）=v0，q（x，y，z）=w0，三个曲面簇f（x，y，z）=u，g（x，y，z）=v，q（x，y，z）=w 交成空间曲面网构成新的坐标，而体积元为一个交点处，三条交线弧微元构成的空间的体积。 以u方向为例求弧微元， 由此可得，类似的可以得出v,w???向的弧微元 于是体积微元为 2·用代数方法证明在坐标x，y，z下有向量，体积微元为向量偏导数微元的混合积 ， 又，有u，v，w为x，y，z的参数，于是 在 的情况下，定u，v，w为一组基 体积微元为 证毕 如，常见坐标系——柱坐标的变换 三·应用举例 1，求曲面（a1，b1，c1）所围区域体积， 令 又，可得 2，求又曲面和所围区域体积 设曲面簇 J=≠0 可做变换 3，求曲面所围区域体积。 令 4，求积分，受曲面限制 令， ,5,55 5，求受曲面限制的体积V 令 6，求受曲面，x=0，z=0，限制的体积V。 令则曲面的变换为 0≤u≤w，，0≤w≤1 故体积为 参考文献《工科数学分析》马知恩 《吉米多维奇习题集》