点到直线的距离公式推导.doc

点到直线的距离公式的推导过程 如何求点到直线的距离？ 方法① 利用定义  由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点到直线的距离，转化为点、垂足两点之间距离来解决． 解：过点作的垂线，设垂足为   方法② 利用直角三角形的面积公式 结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线．教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识． 解：过点作的垂线，交点为点在Rt 方法③ 利用三角函数 根据定义作出图象后，由于涉及到Rt和直线倾斜角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题． 解：过点作的垂线，垂足为   方法④ 利用函数的思想 在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决． 解：设直线上的点，则 当时，取得等号，即此时点 对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点和直线的位置，引出补充问题2． 　　问题2   如何求点到直线的距离？ 组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程． （设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．） 在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3． 　　问题3   如何求点到直线（）的距离？ 方法①  利用定义的推导方法 通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点到直线的距离转化为点与垂足，两点之间距离来处理．这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程．尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略，这一前提条件，而直接得到与垂直直线的斜率为．我要加以纠正，并强调对于的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑．   方法②  利用直角三角形的面积公式的的推导方法 学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题．对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生代表可以只说明算法步骤．与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质．由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了．所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力．在此过程中，应该提醒学生注意Rt三边边长的求法．   方法③ 利用平面向量的推导方法 由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题．所以我班部分思维能力较强的学生，可能会提出利用向量知识推导公式，我要给予肯定．尽管这种方法具有一定难度，但根据我班学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图象，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图．在这一过程中，学生可能会遇到，无法表示与直线垂直的向量的坐标的困难，我给予提示：可以借助于，向量与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决．对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后，在自学教材阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成．这种利用向量的算法，为今后在立体几何中，利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础．