点面距离的求解的策略.doc

PAGE  PAGE 2 点面距离的求解的策略 空间的距离主要有以下七种:(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行直线之间的距离.(5)两条异面直线之间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.实际是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小者.它们之间有密切联系,有些可以相互转化,如两条平行直线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面间的距离都可以转化为点到平面的距离.求点到平面的距离是重点.现对其求解策略归纳如下: 先作后求 由该点向平面作垂线，直接计算垂线段的长，用此法的关键在于如何找到这一垂线的位置及垂足的位置． Ｄ′ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ Ｅ Ｈ 例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 分析:（法１）在正方体ABCD--A′B′C′D′中, ∵A′B′= A′D′= A′A,∴点A′在 平面AB′D′的射影是等边△AB′D′的外心,连接A′C′、B′D′交点E，连接 AE，则A′在平面AB′D′的射影H在中线AE上，由于等边三角形 的“五心”合一，即H是重心，在AE的三等分点且靠近E点， 在等边三角形AB′D′中，AE=，AH= 在直角三角形A′ＨＡ中，A′Ｈ＝ 即A′到平面AB′D′的距离为 　 （法２）由A′C在平面A′B′C′D′的射影为A′C′，而A′C′⊥D′B′，由三垂线定理（及逆定理）可知A′C⊥D′B′，同理可证A′C⊥AB′、A′C⊥AD′ 。于是A′C⊥面AD′B′ 即面A′ACC′⊥面AB′D′ 连接A′C与AE交H点，由面面垂直的性质定理可知A′H的长即为所求。求解略。 A B M 图一 评注：求点到面的距离的关键是证出或作出点到面的垂线段，确定垂线段要注意确定垂足位置和有正确的理论根据，法1应用斜线段相等，射影长也相等的结论，确定了射影的位置，法2应用面面垂直的性质即过该点找一个平面与已知平面垂直，则该点到交线的垂线段即为该点到面的垂线段。 转移求解 通常有以下几种转移方式（1）利用“直线与平面平行直线上 各点到平面的距离相等”这一性质将所求点面距离转移到直线 B M A 图二 上某一特殊点到面的距离，（2）利用比例线段转移：特殊的： 如图一线段AB的中点M在平面内，则A到平面的距离与 B到平面的距离相等；如图二线段AB的一个端点B在平面内， 另一端点A在平面外，M是AB的中点，那么A到平面的距离 是M到平面距离的2倍， C G B D E F H O 例2．已知，如图正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 分析：连接EG、EF、EF、BD、AC，AC与EF、BD分别交与H、O， 易证BD∥面GEF，即点B到面GEF的距离等于直线BD到面GEF的距离， 可证面GCH⊥面GEF，在面GCH中过点O作OK⊥GH，垂足为K， 由面面垂直的性质可知：OK⊥面GEF，即OK为BD到面GEF的距离， 也就是点B到面GEF的距离。在正方形ABCD中，边长为4，CG=2， ∴AC= HO= ，HC= 在直角三角形HCG中 HG= OK= 即为点B到面GEF的距离。 评注：本题首先利用线面的平行关系将点B到平面的距离转化为另一点到平面的距离，然后利用面面垂直的性质确定点到面的距离。 例3．如图PA⊥正方形ABCD所在的平面,且PA=AB=4, E、F分别是AB、PC的中点，求B点到平面DEF的距离。 分析：延长DE交CB的延长线于M，由于E是AB的中点， P B C D A E M G F H ∴BE=DC，∴B是MC的中点，即C到平面DEF的距离是B到平面DEF的距离的2倍. 取PD的中点G,GF∥＝DC ??GF∥＝AE, ∴四边形AEFG是平行四边形 而PA=AD=4, ∴AG⊥PD ，由题设可知DC⊥AG，∴AG⊥面PCD 而EF∥AG ∴EF⊥面PCD 即面EFD⊥面PCD 过C作CH⊥FD于H,则CH即为C到平面EFD的距离, ∵PA=AD=4 CD=4 ∴PD=, CF=DF=, CH= 即B点到平面的距离为 转换求解 当点面距离等于锥体的高时，常用等体积转换求锥体的高。 如例1，求A′到平面AB′D′的距离可通过体积来求。 即 评注：虽作为四面体没有变，但改变了观察角度，即把? AB′D′ 为底，以A′为顶点的三棱锥改为以? A′B′C′D′为底以A为顶点的三棱锥，而这样变化有时给求点面距离即棱锥的高带来了很大便利。