直线系的问题.doc

直线系 （1）平行直线系：与Ax＋By＋C＝0平行的直线为：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． （2）垂直直线系：与Ax＋By＋C＝0垂直的直线为：Bx－Ay＋C1＝0． （3）定点直线系：若l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则过交点的直线为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0， 交点为方程组的解． 直线系问题 一、过定点的直线系 设定点P(x0,y0) 1、用斜率k作参数的直线系方程 y-y0=k(x-x0) (不包括无斜率的直线) 2、用A、B作参数的直线系方程 A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A、B不全为0) 例：求经过P(1,2)的直线L,使点A(3,3)和B(5,2)到它的距离相等. 思路一: ①设斜率k,用点斜式, ②再由点距公式列方程, ③求k出即可. 思路二:分类讨论 ①设斜率k,用点斜式, ②当L∥AB时,由斜率相等可得k; 当L过AB的中点时,把AB中点坐标代入L方程,可解得k. 二、平行线系 1、斜率是k的直线系方程 y=kx+b (b为参数) 2、平行于Ax+By+C=0的直线系方程为 Ax+By+λ=0 (λ为参数) 3、垂直于Ax+By+C=0的直线系方程为 Bx-Ay+λ=0 (λ为参数) 三、过两直线交点的直线系 设L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 ①m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0 (m、n是参数) ②A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ是参数但不包括L2) 例：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一： 由3a+2b=1得:b= EQ \f( 1 , 2 )(1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0 整理得(2x – EQ \f( 3 , 2 ) y-1)+a(x - EQ \f( 3 , 2 ) y)=0 由, 得交点(1,  EQ \F(2,3) ) ∴直线过定点(1,  EQ \F(2,3) ). 思路二：赋值法 令a=0得b=  EQ \F(1,2)  得L1: 2x -  EQ \f( 3 , 2 )y-1=0 令b=0得a=  EQ \F(1,3)  得L2: x – EQ \f( 3 , 2 )y=0 由, 得交点(1,  EQ \F(2,3) ) 把交点坐标代入原直线方程左边得: 左边= EQ \f( 1 , 3 )(3a+2b-1) ∵3a+2b-1=0 ∴左边=0 这说明只要3a+2b-1=0 原直线过定点(1,  EQ \F(2,3) ). 例:求证:无论λ为何值, 直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0 与点P(-2,2)的距离d都小于4 EQ \r(,2) . 证明： 将直线方程按参数λ整理得 (2x-y-6)+λ(x-y-4)=0 故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0???交点M 易解得M(2,-2) 求得|PM|=4 EQ \r(,2)  所以d≤4 EQ \r(,2)  而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0, 又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0 ∴d4 EQ \r(,2)  【注】 此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解. 例题： 例、 （1）证明直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程； （3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。 分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。 （2）求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。 （3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。 解：（1）直线l的方程是： ∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1） （2）由l的方程，得： 解得：k＞0 解之得：k＞0 小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。 例、已知P（1，3），直线l：x－4y＋1＝0 （1