空间角和距离.doc

空间角和距离　　能用向量方法解决有关线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。　　2．模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用　　灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。　　①利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时很方便．其一般方法是将所求的角转化为求　　　两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式．　　②运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应　　　的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已　　　知向量表示出来，从而求得结果．当然也常用一个向量在相应平面的法向量上的射影长度来表示距　　　离??利用投影公式求出结果。　　③有了向量的工具，很多立体几何的度量就转化成了向量的运算。但在传统方法、坐标法之间，一定　　　要根据题目背景选择合适的方法，避免繁复的推理和过于繁杂的计算。知识要点梳理知识点一：异面直线所成的角1.定义：　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　在空间任取一点O，过O作，，则与的夹角就是异面直线与所成角。　　异面直线与所成角的取值范围：。2.求法：　　（1）定义法，又称平移法　　（2）向量法：　 　　　如图：设与的方向向量分别为，，设与所成角为，　 　　　　　　则。　　　　　　　　　　　知识点二、直线与平面所成的角1.定义：　　设直线与平面交于点，在上任取一点（非），作于，则即为在平面内射影，我们将与所成角称为与所成的角。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　规定：当在平面内或者平行于平面时，与平面所成角为00；当直线垂直于平面时，与平面所成角为900.　　直线与平面所成的角的取值范围：2．求法：　　（1）定义法，又称射影法　　（2）向量法：设直线与平面所成角为，平面的法向量，　 　　　则。或。知识点三、二面角及其度量1. 二面角的定义：　　有一条公共棱的两个半平面构成的图形就是一个二面角，记为。2. 二面角角的平面角：　　定义：在棱上任取一点O，分别在两个半平面内作AO⊥，OB⊥，则称∠AOB是二面角角的平面角。二面角的大小是通过平面角大小来度量的。　　　　　　　　　　　二面角的取值范围：3.求法：　　（1）定义法　　（2）向量法：　 　　　如图，设是二面角内部一点，　 　　　作，，、是垂足，　 　　　，连结、，则　 　　　① 、是平面、的法向量； 　 　　　② 是二面角的平面角；　 　　　③ 设，则与相等或互补，有：　 　　　　 或。知识点四、空间距离1.空间两点间距离：　　设点，，则。2.点A到平面的距离：　　法一：直接求　　法二：等体积转化　　法三：向量法　　如图，设平面的一个法向量为，且B不是A在平面上的射影　　则求点A到平面的距离，可转化为在平面的法向量上投影的模。　　即；　　　　　　　　　　　　　　　　　3.直线与平面之间的距离　　直线与平面之间的距离一般转化为点A到平面的距离.　　直线与平面之间的距离：，其中,是平面的法向量；　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.两平行平面之间的距离　　两平行平面之间的距离也一般转化为点A到平面的距离.　　两平行平面之间的距离：，其中,是平面的法向量.　　　　　　　　　　　　　　　　　　规律方法指导1．用向量的方法求空间角时应注意：　　①用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角（或直角），则等于异面直　　　线所成的角；若向量夹角为钝角时，则它的补角等于异面直线所成的角。　　②用法向量求二面角时，应结合图形来判断求出的是二面角的平面角，还是它的补角。　　③直线与平面所成的角用向量来求时，得到的不是线面角，而是它的余角（或补角的余角）。应注意　　　到线面角为锐角（或直角）。2．如何利用向量知识求异面直线所成的角？　　取两异面直线的方向向量，用向量夹角公式求解。　　设与的方向向量分别为，，设与所成角为，　　则。　　解题时，若求出的向量夹角为钝角，则异面直线所成的角为其补角；若求出的向量夹角为锐角或直角，则可以直接表示异面直线所成的角。3．如何利用向量知识求线面角？　　取直线的方向向量和平面的法向量，用向量的夹角公式求解。　　设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为，　　则。　　或。　　解题时，若求出的向量夹角为锐角或直角，则它的余角就是直线与平面所成的角；若求出的向量夹角为钝角，则它的补角的余角为直线与平面所成的角。4．如何利用向量求二面角的大小