空间角的求法1.doc

空间角的求法 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。其取值范围分别是：0°? ? ≤90°、0°≤ ? ≤90°、0°? ? ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法和向量法。下面举例说明。 一、异面直线所成的角： 1：平移法，补形法， 2:向量法:设、分别为异面直线a、b的方向向量, 则两异面直线所成的角，则, = 例1如右下图，在长方体中，已知，，。、分别是线段 上的点，且。求直线与所成的角的余 （04高考广东18.余弦值为） 思路一：用向量法求解。 思路二：平移线段C1E让C1与D1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1） 二、直线和平面所成的角 1:定义法：（1）斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解； （2）：利用等体积法求出点到平面的距离再求出斜线段的长，解直角三角形求解；(心中有三角形即可，不必作出) 2:向量法：设是斜线l的方向向量，是平面的法向量， 则斜线l与平面所成的角,则， D B C A S 例．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。 已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。 (Ⅰ)证明：SA⊥BC； (Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小； 解答：解法一：(心中有三角形即可，不必作出) 解法二：向量法 三、二面角的求法： 1．几何法：二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法： ①直接利用定义，图4（1）。 ②利用三垂线定理及其逆定理，图4（2）最常用。 ③作棱的垂面，图4（3）。 A O B M N ? ? ? ? A O P A B O P ? ? 4（1） 4（2） 4（3） 图4 ④面积射影法：利用面积射影公式 ， 2．向量法：①从平面的法向量考虑，设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有或 （图5） 图5 ②在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角，= 例．（08陕西本小题满分12分） 三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，为中点． A1 A C1 B1 B D C （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的大小． 法1:三垂线法。2：向量法。3：面积射影定理。