例题与探究(411圆的标准方程412圆的一般方程).doc

或 中鸿智业信息技术有限公司 典题精讲 例1如图4-1-1,已知两点P1(4,9)和P2(6,3). 图4-1-1 (1)求以P1P2为直径的圆的方程; (2)试判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,圆内,还是在圆外？ 思路分析:对于本题中圆的方程可从两个角度来考虑:(1)从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,可用待定系数法解决(解法一).(2)从图形上动点P的性质考虑,用求曲线方程的一般方法解决(解法二). (1)解法一:设圆心C(a,b),半径r, 则由C为P1P2的中点得a==6. 又由两点间的距离公式得r=|CP1|= , ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 解法二:∵半圆上的圆周角是直角, ∴对于圆上任一点P(x,y),有PP1⊥PP2. ·=-1,即=-1. 化简得x2+y2-10x-12y+51=0, 显然当点P与P1、P2重合时,也满足上述方程. 综上可知(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程. (2)分别计算点到圆心的距离: |CM|=; |CN|=; |CQ|=. 因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内. 绿色通道:解法一从圆的两个要素入手,确定出圆心和半径,解法二则从动点的几何特征入手,将圆周角为直角这一特征用坐标加以表示.对于本题还可直接通过三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质列方程求解. 另外,本题也可直接套用公式,即以点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 变式训练1 在本题中,求以P1为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、还是圆外？ 解:由两点间的距离公式,得 r=|P1P2|=, 所以,以P1为圆心,|P1P2|为半径的圆的方程为(x-4)2+(y-9)2=40. ∵(6-4)2+(9-9)2=440, (3-4)2+(3-9)2=3740, (5-4)2+(3-9)2=3740, ∴点M、N、Q都在圆内. 变式训练2 在本题中,求以P2为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、还是圆外？ 答案:方程为(x-6)2+(y-3)2=40, 点M、N、Q也都在圆内. 例2判断下列方程是否表示圆,如果是,求出圆心和半径;若不是,请说明理由. (1)x2+y2+4x-2y+12=0; (2)x2+y2-11x+3y-30=0; (3)3x2+2y2+3x-3y+5=0. 思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,根据书中已有结论判定方程是否满足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径. 答案:(1)x2+y2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程. (2)在x2+y2-11x+3y-30=0中,,,D2+E2-4F=2500,所以该方程表示圆心为(),半径为的圆. (3)在3x2+2y2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程. 绿色通道:对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式:x2+y2+Dx+Ey+F=0,在D2+E2-4F0的情况下,则有()为圆心,为半径.不必死记这个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法. 变式训练3 已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(3,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D. 答案:C 例3证明A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)、D(6,0)四点共圆,并求出此圆的圆心和半径. 思路分析:首先由不共线三点确定一个圆,然后再证第四个点在圆上,用待定系数法. 解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A、B、D三点坐标代入得 故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0. ∴点C在该圆上.∵=4,=1, ∴圆心为(4,1),r= 综上,可得四点共圆于圆心为(4,1),半径为的圆, 其方程为x2+y2-8x-2y+12=0. 解法二:∵AB边的中点为(),斜率为kAB=. ∴AB边的垂直平分线的方程为y-=-3(x-), 即3x+y-13=0.①∵BC的中点为(4,1),kBC==2, ∴BC边的垂直平分线的方程为y-1=-(x-4), 即x+2y-6=0.②,解①②组成的方程组得 ∴圆心为(4,1),半径r=. ∴所求圆的方程为(x-4)2+(y-