全国奥数三角形的四心专讲.doc

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全国奥数三角形的四心专讲

湘教版九年级数学培训资料——三角形的四心(2010年8月整理——唐勇军) PAGE  PAGE 121 第二十八讲 三角形的四心 一、三角形的外心 1.定义:三角形三边中垂线的交点(即外接圆的圆心)。 2.性质与判定: ⑴ 点O为△ABC的外心; ⑵ 点O为△ABC的外心且; ⑶ 点O为△ABC的外心且。 二、三角形的重心 1.定义:三角形三边中线的交点。 2.性质与判定: ⑴ 点G为△ABC的重心点G分任一条中线之比为; ⑵ 点G为△ABC的重心S△GBC = S△GAB= S△GCA = S△ABC。 三、三角形的内心 1.定义:三角形三条角平分线的交点(即内切圆的圆心)。 2.性质与判定:点I为△ABC的内心点I到三边的距离相等且点I在三角形内部; 3.三角形面积与内切圆半径及三边关系:。 四、三角形的垂心 定义:三角形三高的交点。 五、四心间的关系 三角形的四心之间有十分密切的关系,其中最典型的是欧拉线,三角形的垂心H、重心G以及外心三点共线且HG=2OG;欧拉公式:; 对于正三角形来说,四心重合,这个点也叫做三角形的中心; 对于锐角三角形来说,设点P为△ABC内一点,且P点到BC、CA、AB的距离分别为x,y,z,则: ⑴ 若P为内心: ⑵ 若P为重心: ⑶ 若P为外心: ⑷ 若P为垂心: 例题精讲 【例1】如图,已知平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,AB=10,AC=9,DE=12。求平行四边形ABCD的面积。 思路点拨:设AC交DE于O,可推出G为△ABD重心。 注:通过代数计算()得出几何位置关系()也是一种常方法。 【例2】已知I是△ABC内心,AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于点D、E、F。求证: 思路点拨:利用圆周角定理推出 注:点E、F、D分别为的中点。 【例3】如图,已知,点B在EC上,CA=CB=CD,过A、C、D三点的圆交AB于点F,求证:点F是△CDE的内心。 思路点拨:只需证FD、FC、FE分别平分∠CDE、∠DCE、∠CED,联想CA=CB=CD,可利用等腰三角形性质。 【例4】△ABC具有这样下面性质:存在一个内部的点P使得∠PAB=10?,∠PBA=20?, ∠PCA=30?,∠PAC=40?,求证:△ABC是等腰三角形。 思路点拨:需证B点在AC的中垂线上,故可作BD?AC于D,再设法证DA=DC。 【例5】如图,点O为△ABC的外心,AB=AC,D为AB中点,E是△ACD的重心。求证:OE?CD。 思路点拨:设AO交CD于点H,若OE?CD,而HO?DE,即O为△HDE垂心,反之,若为△HDE垂心,则结论成立,故只需证明DO?HE即可。 同步练习 1.在△ABC中,∠A是钝角,O是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值为( ) A. B. C. D. 2.设G为△ABC的重心,且AG=6,BG=8,CG=10,则△ABC的面积为( ) A.58 B.66 C.72 D.84 3.若一个三角形的面积和周长都被一直线平分,那么该直线必通过这个三角形的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 4.若,那么以为三边的△ABC的内切圆、外接圆的半径之和为( ) A. B. C. D. 5.在△ABC中,BD、CE分别是边上的中线,且,BD=4,CE=6,则△ABC的面积是 。 6.△ABC中,G是重心,,,,则△ABC的面积是 。 7.在△ABC中,,CD和BE是三角形的两条中线,且,那么= 。 8.在△ABC中,G是重心,I为内心,若IG∥BC,且BC=5,则AB+AC= 。 9.在△ABC中,∠C=90?,∠A和∠B的平分线交于点P,又PE?AB于点E,若BC=2,AC=3,则AE?EB= 。 10.如图,已知I为△ABC的内心,延长AI,BI,CI各交△ABC的外接圆于点D,E,F。求证: 11.如图,已知I为△ABC的内心,延长AI,BI,CI各交△ABC的外接圆于点D,E,F。求证:

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