关于引力场强gr和引力势Ψr的讨论.doc

关于引力场强g(r)和引力势Ψ(r)的讨论 郭俊德 叶县第二高级中学 邮编 (467223) 关键词：引力场强 位矢 单位矢 引力势Ψ(r) 重力势能 摘要：在忽略地球自转的影响下，根据万有引力定律、库仑定律、电场强度的定义可得到引力场强g(r)的定义式，应用高斯定理先讨论地球引力场强的分布情况。又因引力是保守力，应用引力场强和引力势的梯度关系，通过对引力场强积分求出引力势，在讨论引力势的分布情况。最后简要说明重力势能的意义。 正文：在中学物理课本中，重力加速度在地球附近一般取,在不考虑地球自转的影响下，重力加速度的值随距地心间距离的平方成反比，但中学物理课本未给出理论的解释。本文的宗旨是：从理论上讨论引力场强g(r)和引力势ψ(r)的分布情况。 一、引力场中场点的引力场强 1.1场点的引力场强的定义式 在忽略地球自转的影响的情况下，我们讨论地球与某一质点的相互作用力时，可以把地球看成一个质点。若用M表示地球质量，m表示质点的质量，表示位矢，由万有引力定律可知：地球对质点的引力(负号表示引力方向与位矢方向相反）。由于万有引力定律和库仑定律存在极大的相似，使得引力场和静电场也存在诸多相似，类比电场强度的定义可得引力场强的定义式为 (r为场点的位矢）。 1.2 引力场中引力场强的分布情况 地球的球心是引力场的源点，场点的引力场强是矢量，方向与场点位矢方向相反。它的定义和静电场的场强是相似的，我们假设地球是一个质量分布均匀的球踢，其密度为，地球内外的引力场强可直接应用引力场的高斯定律 得出，（是高斯面的半径，为包围质点的球面半径，为场点的位矢） 1.2.1 在地球内部（0 ＜ = ＜）g(r)的分布情况 当0＜＜是引力场强的公式可变形为，此式说明：在地球内部，引力场强的大小随距地心间距离的减小而减小，在地心处引力场强为零。 在高中物理习题中有这样一个问题：假设在地球上沿地球直径挖一条贯穿南北两极的隧道，在一个隧道口处由静止释放一个物体，问物体将在隧道内如何运动？ 【问题分析】]：由于在地球内部引力场强的大小（重力加速度）随物体距地心距离的减小而减小，到地心处减小到零，越过球心后引力场强又开始增加，但方向总指向地球的球心。故物体开始运动时引力场强方向与物体运动方向相同，物体先做加速度减小的变加速运动，到球心出速度达到最大。从球心到另一隧道口运动时引力场强方向与物体运动方向相反，物体做加速度增加的变减速运动，到另一个隧道口是速度恰好为零。然后返回隧道又到另一隧道口，如此反复…，所以物体在隧道内作往返运动。 1.2.2 在地球表面时的引 力场强 当＝时，引力场强的计算式可以变形为 负号表示引力场强方向由有场点指向地球的球心。 因为 ， 所以 这个值说明在地球表面引力场强的大小为9.808185m/s2,所以在中学物理课本中，地球附近的重力加速度值一般取9.8m/s2 1.2.3在地球外部引力场强的分布情况 r/米 9.80 图—1 当r＞R 时，引力场强的计算式可以变形为。此式说明在地球外部引力场强的大小随着场点距地心距离的增大而减小，并且与距地心间距离的平方成反比。 综上所述，我们可以用一个图像来表示引力场强的大小与场点间距离之间的关系。用纵坐标表示引力场强的大小，横坐标表示球心到场点的距离，它们之间的关系如图—1 二 引力势的分布情况 由于引力是保守力，因而功与物体运动路径无关，所以引力场也是有势场。根据引力场强于引力势的关系是：。反过来，引力势和引力场强是积分关系。 引力势== 2.1.1 在地球的球心处的引力势 引力势在球心处可简化为 在球心处引力势不为零，是负值。 2.12 在地球内部引力势的分布情况 当0＜＜时，引力势可表示为,这说明引力势在地球内部与场点和地心间距离的平方成正比。 2.1.3 当=时，在地球表面 在地球表面引力势的大小可以利用引力势的计算公式求出来， 2.1.4 当r ＞R地 时，在地球外部 在地球外部，引力势的计算式为 通过简化可以表示为 ,这说明在地球外部引力势随场点到球心间距离的增大其值逐渐减小，在无穷远处引力势为零。 0 2 4 6 8 10 8.34 9.382 图 —2 综上所述， 引力势与球心到场点的距离关系也可以用图像表示出来，用纵坐标表示ψ(r)用横坐标表示地心到场点的距离，则他们的关系可以用图---2表示 由上述分析可知：引力势具有负值，在地心处为9.382×107在地球表面处为－8.34×107，在无穷远处引