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函数平方逼近多项式的均方误差计算
函数平方逼近多项式的均方误差计算
实验要求:设
求连续函数在区间[-1,1]上的3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;
在区间[-1,1]上取5个等距结点,求的离散3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;
在区间[-1,1]上取9个等距结点,求的离散3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;
比较和,应如何合理地定义离散情况下的均方误差?该定义(1)中的有何关系?
实验步骤:
利用legendre正交多项式作在[-1,1]上的最佳平方逼近,先计算,=0,1,2,3。
由方程组计算出系数
解得系数为
由以上系数和legendre正交函数簇可得在 [-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式为:
均方误差:
和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示:
在区间[-1,1]上等距的取5个点
-1.0000-0.500000.50001.00000.03850.13791.00000.13790.0385???法方程,得到如下方程组:
解得系数为
由此得到 =
均方误差 ==0.5945
和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示:
在区间[-1,1]上等距的取9个点
-1.0000-0.7500-0.5000-0.250000.25000.50000.75001.00000.03850.06640.13790.39021.00000.39020.13790.06640.0385由法方程,得到如下方程组:
解得系数为
由此得到
均方误差
和多项式在区间[-1,1]上的图形如下所示:
由(2)、(3)可以看到,这意味着在该均方误差定义下,得到的的信息越多,反而拟合出的曲线误差越大。
可以将离散情况下均方差定义为
其中是和之间的距离,,采用均匀分布,在区间[a,b]上n个采样点,==,在此定义下,[a,b]=[-1,1]时,=0.4203,=0.3183,有,并且有:当n趋近于无穷时,=
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