利用导数研究函数单调性和求极值最值.doc

 PAGE \* MERGEFORMAT 4 利用导数研究函数单调性和求极值、最值 一、基础知识回顾： 1. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程； （3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。 2. 求函数的极值的方法： （1）求导数；　（2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）； （3）如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极大值； 如果在根附近的左侧____0，右侧____0，那么是的极小值 3．在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤： （1）求函数 在内的导数 ； （2）求函数 在内的极值 ； （3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 二、例题分析： （一）基础题型 例1．(08福建文)如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（ ） 例2. 曲线 的单调减区间是( ) A.; B.; C.及 ; D. 及; 例3. （09辽宁卷文）若函数在处取极值，则 例4. 函数的定义域为开区间，导函数在内 的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 _个 例5．若有极值，则的取值范围是 . 例6．（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则　　 　　. （二）典型题型 例7.（2008北京文）已知函数是奇函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 变式1.（2009北京文）设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. （Ⅲ）若且在处取得极值,直线y=m与的图象有三个不同的交点， 求m的取值范围。思考:若是有1个不同的交点呢? 2个不同的交点呢? 例8.已知函数 (1) 求函数,在区间上的最大值和最小值. (2) 若在区间上，恒有，求的取值范围. (3) 若在区间上，恒有，求的取值范围. 变式1.（2008浙江文）已知是实数，函数. （Ⅰ）若,求的值及曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求在区间[0，2]上的最大值。 (三)练习 1．设，若，则（ ） A. B. C. D. 2．已知对任意实数有，，且时，， 则时（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数?（x)的图象如右，则?′（x)的图象（如下）可能为（ ） (A) (B) (C) (D) 4．(2008广东文)设，若函数，有大于零的极值点，则（ ） A． B. C. D. 5．（2004全国卷Ⅱ理科）函数在下面哪个区间内是增函数（ ） （A）(，)　（B）(，2)　（C）(，)　（D）(2，3) 6．函数有极值的充要条件是( ) A．； B．； C．； D． 7．函数的单调递减区间是 ． 8.已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： （Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值. （一）基础题型 例1．D 例2.A例3.答案 3例4. 1 _个例6．　　32　　. （二）典型题型 例7.解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数， 所以，对任意的x∈R,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以解得a=0，c＝2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2.所以f′(x)=3x2+3b(b≠0).当b＜0时，由f′(x)=0得x=± x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x(-∞,- )-(-,)(,+∞)f′(x)+0-0+所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增. 当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增. 变式1.解:（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切， ∴ （Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增， 此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点. （Ⅲ）因为在处取得极大值，所以 所以由解得。 由（1）中的单调性可知，在处取得极大值， 在处取得极小值。 因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，， 结合的单调性可知，的取值范围是。