利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式.doc

利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式 对于定义域为(a,b)的一个凸函数其二阶导数小于0，利用拉格朗日中值定理证明对于任意n≥2且x1,x2,x3……xn∈(a,b)和正数a1,a2,a3……an且a1+a2+a3+……+an=1均满足f(a1x1+a2x2+a3x3+……anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn) 图见下一页 传说这个可以改编成高考题哦~~ 且看原题（2012韶关二模理数最后一题） 请注意：一下所有“L”为省略号 21．(本小题满分14分) 已知函数，当时，函数取得极大值. （１）求实数的值； （２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有； （３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有. 参考答案和评分标准 21．(本题满分14分) 解：（１）. 由，得，此时. 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减. 函数在处取得极大值，故.…………………………3分 （２）令，…………………4分 则. 函数在上可导，存在， 使得. ， 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，； 故对任意，都有.…………………………8分 （３）用数学归纳法证明. ①当时，，且，， ，由（Ⅱ）得，即 ， 当时，结论成立. …………………………9分 ②假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令，， 则，且. …………………………13分 当时，结论也成立. 综上由①②，对任意，，结论恒成立. …………………………14分