十2013年本科生Fourier分析之正交小波构造与系数有理化.doc

-  PAGE 14 - 国防科学技术大学 教　案 课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系 计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智 教授授课时间：2013年秋季学期 正交小波系数的有理化 国防科技大学理学院 2013年秋季学期 教案首页 课程 名称Fourier 分析与小波总计：40学时课程 类别选修学分2讲课：　40　学时 自主学习：　6　　学时任课 教师成礼智职称教授授课 对象2011级数学专业本科教材和基本参考资料成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，2004 G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:Welleseley-Cambridge Presss,1996， 3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教学 目的 任务本课程是数学专业选修专业课。本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题. 内容 课时 分配章内　　容学时数1傅里叶分析与预备知识82Haar小波分析63多分辨分析与小波构造124提升格式小波与整数变换85小波的典型应用6教研室意见教研室主任签名 年　　月　　日教案续页 教　学　基　本　内　容备注正交小波构造与系数有理化教案 课程内容：正交小波构造与系数有理化 本次课重点：正交小波构造、Daubechies条件、系数有理化 难点：正交小波构造复习：（1）双尺度方程 第一个式子得到低频分量，第二个式子得到高频分量，且。在的确定中系数起到关键作用。 （2） 在Mallat算法中，输入信号，则信号分解为 而信号重构公式则满足 上面的两个式子表明，无论是尺度函数与小波函数的计算，还是基于小波Mallat算法的信号分解与重构，系数都起到关键作用。 问题：如何确定？引出上次课程得到的定理2，但是仅有定理2是不够的？需要添加其他条件，引出消失矩概念与性质。 正交小波构造 利用双尺度方程我们看到，尺度函数满足其系数所决定的非线性方程，另外，由上一讲关于尺度函数的计算方法表明，只要给定系数，我们便可以根据双尺度方程得到尺度函数（例如，迭代法、矩阵方程方法以及Fourier变换法等）。因此，本节将以系数的求法为重点讨论正交小波的构造方法。 在短时Fourier变换的设计中我们曾经指出， 好的窗口函数应该具有快速衰减特性，函数的衰减程度通常通过下列不等式来衡量，其中C为与无关的常数，的大小体现了函数衰减的速度，称之为衰减的阶。在小波的构造中，消失矩性质是一个非常重要的内容，下面说明，消失矩的引入事实上是和函数衰减速度紧密联系在一起的。 定理1 设为定义在R上的函数，（m阶连续函数空 间）不恒为0，且当时的l阶导函数有界，具有如下衰减 ，又设 满足双正交关系 ， ， 则具有阶消失矩，即 （1） 证明 利用归纳法，由于时的证明与下面的证明完全相同，因此只证明时函数的积分为0即可。 任取，在点处对作Taylor展开，得到 其中，对任给存在使得当 时， 此时取，则有 （2） 因此有，其中 （3） 以上不等式的推导中利用了初等不等式 对成立。 将式（3）代入式（2）中并令，得到 ，因此有，利用点在R上具有稠密性以及函数连续非零性质，直接推得 由归纳法原理结论成立。 将上述定理应用到正交小波容易得到 推论 1 设构成的标准正交系，对于有界，且，则有 （4） 推论1说明了当小波函数具有某种衰减速度时，该函数的消失矩特性。下面讨论在满足一定消失矩的前提下函数衰减速度的问题。为此，首先研究消失矩的几个基本性质. 定理2 低通滤波器响应函数，为双尺度方程所定义的小波函数，则下列结论是等价的： 小波函数具有m阶消失矩； （2）低通滤波器系数的m和法则：； （5） （3）在处存在m重零点：或者在变换情况下有； （4）矩阵具有个特征值 ，即对于，存在非零向量使得成立； 于任意的，是阶多项式。 证明（2）和（3）的等价性是很显然的，因此首先证