十一2013年数学本科Fourier与小波之双正交多分辨分析.doc

-  PAGE 12 - 国防科学技术大学 教　案 课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系 计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智 教授授课时间：2013年秋季学期双正交小波的概念与性质 国防科技大学理学院 2013年秋季学期 教案首页 课程 名称Fourier分析与小波总计：40学时课程 类别选修学分2讲课：　40 　学时 自主学习：　6　学时任课 教师成礼智职称教授授课 对象　2011级数学专业本科生教材和基本参考资料成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，2004 G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:Welleseley-Cambridge Presss,1996， 3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教学 目的 任务本课程是数学专业选修专业课。本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题 内容 课时 分配章内　　容学时数1傅里叶分析与预备知识82Haar小波分析63多分辨分析与小波构造124提升格式小波与整数变换65小波的典型应用8教研室意见教研室主任签名 年　　月　　日教案续页 教　学　基　本　内　容备注内容：双正交多分辨分析的概念与性质重点：为何需要双正交小波、双正交多分辨分析的概念与性质难点：正交对称小波的不存在特性、双正交多分辨分析概念的理解 复习：双尺度方程中系数 的特点： （1） 起到低通滤波??的作用； （2） 设低通滤波器函数为，则 上述两个性质中，第一个性质在信号分解中起到关键作用，第二个性质在正交小波的构造中是一个重要工具。 但是，在信号处理中，对称性与周期性是两个重要概念，例如，我们曾看到，图像（二维）或信号作对称延拓可以保持高保真（小的失真度），因此，构造具有对称性的滤波器组具有重要意义。因此，本节课的目的是讨论具有对称性质的小波滤波器构造方法。 问题：（1） 是否存在对称正交小波？ 答案：不存在 （2） 如何找到具有对称性质的小波？ 本堂课的主要内容。 一、为何需要双正交小波？ 1、线性相位与滤波器的对称（反对称）性 前面所讨论的多分辨分析理论都是在正交的意义下进行的，但是实际工程问题中仅有正交性还远远不够。例如，在图像处理中，双尺度方程的系数与小波方程系数经常被作为低通与高通滤波器系数。为了保证图像在变换过程中不发生畸变，其频率响应函数最好具有线性相位，即存在使得。现在来看函数的系数性质，事实上，此时不难得到，该式等价地表示为，当时，系数可以看作为以为对称轴，此时滤波器系数具有对称性质，例如，当时，，对称轴为，而当时，，对称轴为轴。另外，有时也需要下列的广义线性相位性质：。若取，则又有，系数可以看作为以为反对称轴。 综上所述，线性相位滤波器设计与对称系数是等价的。  2、正交小波滤波器对称性的不可能 Daubechies已经证明，基于正交小波变换下满足双尺度方程的系数除开Haar基小波外，均不存在对称或反对称性，即有下面的定理。 定理1 假设分别为一个多分辨分析的具有有限支撑、实值尺度函数与小波函数，若函数图像关于对称或反对称，则一定是Haar函数。 为了证明上述定理，还需要证明下列结论成立。 引理1 如果函数构成的子空间的一组标准正交基，则存在以为周期的函数以及使得. 证明 由于构成子空间的标准正交基以及，故存在系数使得成立，因此，而，其中 。又由均为标准正交基，因此利用前面的讨论有，另一方面 ，综合上面的两个式子知引理结论成立。 引理2 假设是一个有限长的序列，且满足，则存在使得成立。 证明 由得到，故 ，由于是一个有限长的序列，设分别满足 并在上式取，则有 ，但另一方面，因为当时，当时，因此上式左端只有一项，必有，此即成立。 推论1 如果均为紧支撑函数， 是同一个空间的标准正交基函数，则对某个以及成立。 证明 由引理1，存在以为周期的函数以及使得，由于均为紧支撑函数，所以仅有限个非0，因此利用引理2，得到推论1结论成立。定理1的证明。 由于函数的有限支撑性质知道只有有限个非0，为简单记，设，现在证明一定为奇数，否则设为偶数，