微分方程及差分方程简介精简版.ppt

三、利用Matlab求微分方程的解析解; 解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x);解 输入命令 ： [x,y,z]=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z);四、微分方程的数值解;（二）建立数值解法的一些途径;2、使用数值积分;3、使用泰勒公式;;ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型);传染病模型; 已感染人数 (病人) i(t);模型2;模型2;模型3;模型3;模型4;模型4;模型4;s;模型4; 五、 微分方程稳定性分析;;; 自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。; 如果存在某个邻域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 从这个邻域内的某个点 { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出发， 满足 : ; 非线性方程 ( 一个方程 ) 情况 ; 由此 , 当 f ’( x0 ) ＜ 0 时, x → x0 ; 当 f ’( x0 ) ＞ 0 时, x → +∞.;非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况; 研究方法 : 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二元函数 的泰勒展开式）: ;求解; (1) 当 p ＞ 0 , q ＞ 0 时, ; (2) 当 p ＜ 0 时, ; (3) 当 q ＜ 0 时 , 此时必定有 p2 – 4q ≥ 0 ，;; ;稳定性模型;捕鱼业的持续收获;产量模型;一阶微分方程的平衡点及其稳定性;产量模型;产量模型;效益模型;种群的相互竞争;模型假设;模型分析;判断P0 (x10,x20) 稳定性的方法——直接法;仅当?1, ?2 1或?1, ?2 1时，P3才有意义;平衡点稳定性分析;种群竞争模型的平衡点及稳定性;结果解释;;对于k阶差分方程; 若有常数a是差分方程(3-6)的解, 即; 二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.; ① 当?1, ?2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x*+ C1(?1)n + C2(?2)n ; ② 当?1, 2=?是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn= x* + (C1 + C2 n)?n; ③ 当?1, 2= ? (cos? + i sin? ) 是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为 xn = x*+ ? n (C1cosn? + C2sinn? ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |?i |＜1时, 平衡点x*???稳定的. ;对于一阶非线性差分方程 xn+1 = f (xn );Application:常微分方程可化为差分方程 ;