大学数学毕业论文关于函数的一致连续问题.doc

关于函数的一致连续问题 摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质. 关键词:函数;一致连续;连续 在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础, 但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的 认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的 条件、运算性质. 1 一致连续及其相关概念 定义1 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0∈I, ε 0, δ 0,当x∈I且 x-x0 δ时,有 f(x) -f(x0) ε. 定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对 ε 0, δ 0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要 x- y δ,就有 f(x) -f(y) ε. 定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少 一个ε00,对 δ0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱ x′-x″︱ δ,但 ︱f(x′)-f(x″)︱ ≥ε0. 评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有 关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每 一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于 不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上 的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的. 在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在 该I上不一定是一致连续的. 评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之 差(就绝对值来说)可以任意小. 用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz 条件 ︱f(x′)-f(x″)︱ ≤L ︱x′-x″︱ , x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特 别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立. 2 一致连续的条件及有关结论 2.1 一致连续的条件 定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是 一致连续的. 证明 要证的??对于任意给定了的ε 0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得 f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成 立,则至少对于某一个0 0而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段. 将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限 多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其 一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n= 1,2,…,由区间套定理 知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可 找到δ 0,使︱ x-c ︱δ(x∈[a,b])时, ︱f(x) -f(c)︱ ε0/2. 注意到c= 我们可取充分大的k,使 ︱ak-c ︱δ, ︱bk-c ︱δ,从而 对于[ak,bk]上任意点x,都有 ︱x-c ︱δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有 ︱f(x1) -f(x2)︱ ≤ ︱f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2)︱ = 这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的 函数值之差已小于了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时 所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确. 评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =在(0,1)的每一个点都连续, 但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ0,令x1=δ,x2=2δ,则 ︱x1-x2 ︱ =δ,而 ︱f(x1) -f(x2)︱ =,这时︱ x1-x2︱ 可以任意小,但︱ f(x1) - f(x2) ︱可以任意大.函数f(x) = tanx在(-,)也有类似的情形.以上两例讨论的 都是无界函数,而sin在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也 没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin=1,sin=- 1. 定理2 f(x)在区间I上一致连续的充要条件是在区间