数值计算与最优化lecture计算方法第1章.ppt

数值计算与最优化原理;;要求: 1. 课前预习和课后复习,并及时完成课后作业.（掌握构造方法的原理和思想） 2. 课余将书本上的程序进行上机计算, 掌握并熟练运用Matlab进行数值计算。（掌握运用数值计算方法在计算机上解决各类工程问题） 课程成绩： 平时成绩（含考勤、作业及平时表现）30% 期末考试成绩 70%;$1.1 引 言;一个科学计算过程主要包括如下几个环节：;求解微分方程;(3) 程序设计：将数值问题机器化;(4) 上机计算并分析结果：数值模拟物理过程，分析计算结果的可靠性，必要时重复上述过程。;数值计算：常称为数值分析或计算数学或计算方法。 主要是研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值 解的理论和方法。;边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学， 计算生物学，计算经济学等。; 研究数值算法的任务主要有：;例1.1.1 已知 a0, a1, a2 ,…, an, x, 计算多项式：;例1.1.2 解线性方程组; 数值计算研究内容：对如下五类问题探索数值求解 方法及其与算法有关的理论分析; 将问题可算化的手段：将问题可算化是设计一个算 法的第一步;§1.3 计算过程中的误差及其控制;一、误差的种类及来源;截断误差;舍入误差;结论：误差是不可避免的;二、误差和误差限;显然;定义1.2.2 ;绝对误差限;例1.2.1;三、有效数字;其中基数是正整数，一般取为２，但为照顾习惯和书写方便，通常化为十进制数输入或输出。阶码是整数。;有4位有效数字;定理1.2.1 ;即;例1.2.7;四、误差的传播;利用上面的误差估计公式，可以得到两个数的和、差、积、商的误差估计;2、舍入误差的传播;在计算机中，数需首先转化为机器数，比如浮点数，在 运算器中参与运算后仍需将运算结果转化成浮点数的形 式进行存储。;由上面的讨论可以看出，为了求得满意的计算解，在选 用计算公式和设计算法时，都应注意如下普遍原则：;作一个有效数字为4位的连加运算;(2) 作减法时应???免两个相近数相减;(3) 避免小数作除数和大数作乘数;§3.算法的稳定性;如把方程组的系数 舍入成两位有效数字;若对方程组的系数和中间结果均取3位10进制有效数字，然后用Gauss消元法求解，得到计算解为：;上述例子表明，数值问题计算解的精度，与数值问题本 身的性态有关。;二、算法的稳定性与设计原则;误差放大 5千倍!;显然算法不稳定。理论上成立的算法，在计算机上计算 时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果 的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。;定义1.3.2 如果对于良态问题，在运算过程中,舍入误差 能控制在某个范围内的算法称之为数值稳定的算法,否则 就称之为不稳定的算法。;算法优劣的标准;设计算法时应遵循的原则