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侯 军 奥赛培训讲义《振动和波》 PAGE  PAGE 12 第五部分 振动和波 第一讲 基本知识介绍 《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。 一、简谐运动 1、简谐运动定义：= －k ① 凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。 谐振子的加速度：= － 2、简谐运动的方程 回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。 依据：x = －mω2Acosθ= －mω2 对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可以令： mω2 = k 这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出—— 位移方程： = Acos(ωt + φ) ② 速度方程： = －ωAsin(ωt +φ) ③ 加速度方程：= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。 运动学参量的相互关系：= －ω2 A = tgφ= － 3、简谐运动的合成 a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得 A = ，φ= arctg 显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。 b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为 +－2cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动； 当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动； 当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。 c、同方向、同振幅、频率相近的振动合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合运动x = x1 + x2 ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合运动是振动，但不是简谐运动，称为角频率为的“拍”现象。 4、简谐运动的周期 由②式得：ω= ，而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以 T = 2π ⑤ 5、简谐运动的能量 一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成，即 = mv2 + kx2 = kA2 注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能。当我们计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量。 6、阻尼振动、受迫振动和共振 和高考要求基本相同。 二、机械波 1、波的产生和传播 产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素） 2、机械波的描述 a、波动图象。和振动图象的联系 b、波动方程 如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v ，那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是 y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕 这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t ，都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可以描绘出一个瞬时波形。所以，称y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕为波动方程。 3、波的干涉 a、波的叠加。几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播，在相遇的区域则遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。 b、波的干涉。两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开。 我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图2所示，我们用S1和S2表示两个波源，P表示空间