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高中数学 集合与常用逻辑用语 命题及其关系-充分条件与必要条件
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件;1.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以____________的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做_________,判断为假的语句叫做__________.;2.四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系:;(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有_______的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性
_______________.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p?q,则p是q的_____条件,q是p的_____条件.
(2)如果p?q,那么p与q互为_____________.
(3)如果pD/?q,且qD/?p,则p是q的
_______________________.;1.“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确?为什么?
【提示】 不正确,①概念不同,命题的否定是直接对命题的结论否定;否命题是对原命题的条件和结论分别否定.②构成不同,对于“若p,则q”形式的命题,命题的否定为“若p,则綈q”;其否命题是“若綈p,则綈q”,③真值不同,命题的否定与原命题真假相反;而否命题与原命题真假无关.;【提示】 由逆命题为真,知q p;逆否命题为假,知p q;故p是q的必要不充分条件. ;1.(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是( )
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;
④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件.
A.②④ B.②③ C.②③④ D.③④;【解析】 由于|a|>|b|?a2>b2,a>b?a+c>b+c,故②③正确.由于a>bD/?a2>b2,且a2>b2D/?a>b,故①错;当c2=0时,a>bD/?ac2>bc2,故④错.
【答案】 B;【答案】 C;3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】 原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题,故选B.
【答案】 B;4.(2012·天津高考)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】 若φ=0,则f(x)=cos x是偶函数,但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.
【答案】 A; (1)命题p:“若a≥b,则a+b>2 012且a>-b”的逆否命题是( )
A.若a+b≤2 012且a≤-b,则a<b
B.若a+b≤2 012且a≤-b,则a>b
C.若a+b≤2 012或a≤-b,则a<b
D.若a+b≤2 012或a≤-b,则a≤b;(2)下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
【思路点拨】 (1)直接根据逆否命题的定义写出,但应注意“且”的否定是“或”.
(2)分清命题的条件与结论,写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假.;【尝试解答】 (1)“且”的否定是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若a+b≤2 012或a≤-b,则a<b”,故选C.
(2)A中逆命题为“若x>|y|,则x>y”是真命题;
B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;
C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;
D中原命题是假命题,从而其逆否命题为假命题.
【答案】 (1)C (2)A ;1.本例(1)中应注意“且”的否定是“或”,本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断.
2.(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时,必须保留大前提不变.
3.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化.;(1)命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)(2013·启东模拟)已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0
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