四川省遂宁二中2015届高三数学辅导资料函数的奇偶性.docVIP

全优中高考网-------- 全优中高考网-------- （5） 函数的奇偶性和周期性 ●知识梳理 1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+ f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数. 2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. （5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 4.函数的周期性 （1）周期函数的定义：对于函数定义域内的每一个，若存在非零常数T，使得恒成立，则称函数具有周期性，T叫做的一个周期，则也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。 （2）常用结论 ①若图象有两条对称轴，，则是周期函数，且周期为； ②若图象有两个对称中心A，B，则是周期函数，且周期为； ③若图象有一个对称中心A，和一条对称轴，则是周期函数，且周期为； ④若函数满足，则是周期函数，且； ⑤若函数满足，则是周期函数，且； ⑥若函数满足，则是周期函数，且； ⑦若函数满足，则是周期函数，且； ●点击双基 1.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ） ①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 3.若偶函数f（x）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ） A.f（cosα）＞f（cosβ）B.f（sinα）＞f（cosβ）C.f（sinα）＞f（sinβ） D.f（cosα）＞f（sinβ） 4.设定义在R上的函数满足，且，则等于（ ） A.12 B.6 C.3 D.2 5.已知f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝___________，b＝___________. 6.给定函数:①y=（x≠0）；②y=x2+1；③y=2x；④y=log2x；⑤y=log2（x+）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 7.已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=3x－1，则__________. ●典例剖析 【例1】 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ） A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2） C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0） 【例2】 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|； （2）f（x）=（x－1）·； （3）f（x）=； （4）f（x）= 【例3】函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）. （1）求f（1）的值； （2）判断f（x）的奇偶性并证明； （3）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围. ●闯关训练 1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间［0，+∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜b＜0，给出下列不等式，其中成立的是（ ） ①f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b） ③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 2.函数f（x）是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f（x）在［－1，0］上是减函数，那么f（x）在［2，3］上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.