1-3-2-2数学必修一函数的奇偶性.ppt

第2课时　函数奇偶性的应用;目 标 要 求 1.能利用函数的奇偶性与单调性分析解决较简单的问题． 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质.;热 点 提 示　　 学习时，应充分利用特殊函数图象，借助图形的形象直观，整体把握奇偶性的本质特征，从而准确理解其概念．在分析解决与奇偶性有关问题时，应充分利用奇偶性这一本质特征(关于原点对称区间上图象的对称这一性质)来解决问题.;; 1．奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)＝0. 2．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 3．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. 4．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．;●想一想：如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？ 提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.; 解析：对A、C，函数是奇函数，对D，函数虽是偶函数，但是在(0，＋∞)上是增函数． 答案：B;2．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)f(2)，则必有(　　) A．f(－1)f(－2) B．f(－1)f(－2) C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1) 解析：∵f(1)f(2)，∴－f(1)－f(2)． 又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)f(－2)． 答案：B; 解析：f(－a)＝－f(a)， ∴函数必过(－a，－f(a))． 答案：C;4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________． 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)， f(－π)＝f(π)， 又f(x)在[0，＋∞)上递增，而23π， ∴f(π)f(3)f(2)， 即f(－π)f(3)f(－2)． 答案：f(－π)f(3)f(－2);5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求f(x)的解析式； (2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．;(2)先画出y＝f(x)(x0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x0)的图象，其图象如下图所示． 　　　　 由图可知，其增区间为[－1,0)??(0,1]， 减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．;; 类型一　　　　利用函数的奇偶性求解析式 【例1】　已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 思路分析：本题已知x0时f(x)的解析式，只需再求出x＝0及x0的表达式即可．已知f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，利用这一条件将x0的解析式进行转化，可求得x0的解析式．;; 此类问题的一般解法是： (1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．;1　已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x0时的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∵x0，∴－x0， ∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3. ∴f(x)＝－x3－2x－3(x0)．;类型二　　　　利用函数的奇偶性判断函数的单调性 【例2】　已知f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数．求证：f(x)在(－∞，0)上是减函数． 思路分析：本题即证明f(x1)f(x2)，其中x1x20，利用f(x)是奇函数及在(0，＋∞)上是减函数来证明．;证明：设x1x20，则－x1－x20. ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(－x1)f(－x2)． 又∵f(x)是奇函数，∴－f(x1)－f(x2)，即f(x1)f(x2)， ∴f(x)在(－∞，0)上是减函数． 温馨提示：在解决利用函数的奇偶性判断单调性的问题时，借助于函数的奇偶性完成对f(x1)－f(x2)符号的判断是关键． ; 由奇函数和偶函数的性质，可得单调性与奇偶性的联系：奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．;类型三　　　　利用函数的奇偶性比较大小 【例3】　已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)f(1)，则(　　) A．f(－1)f(－3)　　 B．f(0)f(－1) C．f(－1)f(1) D．f(－3)f(－5) 思路分