组合数学第4章Pólya定理习题.pptVIP

第四章习题;4.一正立方体的六个面用g,r,b,y四种颜色涂染，求其中两个面用色g,两个面用色y,其余一面用b,一面用r的方案数。 解 5.对一正六面体的八个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y,其余3个顶点用色r,求其方案数。 解 6.由b、r、g三种颜色的5颗珠子镶成的圆环，共有几种不同的方案? 解;7.一个圆圈上有n个珠，用n种颜色对这n个珠子着色，要求颜色数目不少于n的方案数。 解 8.若已给两个r色的球，两个b色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少不同的方案? 解 9.试说明S5群的不同格式及其个数。解 10.图4-1-1用两种颜色着色的问题，若考虑互换颜色使之一致的方案属同一类，问有多少不同的图象？ 解;11.在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少方案？ 解 12.一幅正方形的肖像与一个立方体的面一样大，6副相同的肖像贴在立方体的6个面上有多少种贴法？ 解 13.凸多面体中与一个顶点相关的各面角之和与2π的差称为该顶点的欠角，证明凸多面体各顶点欠角之和为4π. 解 14.足球由正5边形与正6边形相嵌而成。 (a)一个足球由多少块正5边形与正6边形组成？(b)把一个足球所有的正6边形都着以黑色，正5边形则着以其它各色，每个5边形的着色都不同，有多少种方案？ 解;15.(a)本质上有多少种确实是2个输入端的布尔电路？写出其布尔表达式。 (b)本质上有多少种确实是3个输入端的布尔电路？ 解 16.用8个相同的骰子垛成一个正6面体，有多少方案？ 解 17.正六面体的6个面和8个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。试问有多少种不同的方案数?(旋转使之一致的方案看作是相同的). 解;习题解答;2.证：设|G|=g,则a,a ,a ,…,a ,a 中必有相同元。a = a , 1≤k＜l≤g+1 a =e. 1≤l-k≤g 对于给定的a，存在最小的正整数r,a =e .于是 H={a ,a ,…,a (=e)}是G的子群，若H≠G,则存在a1不属于H, 　显然，H∩Ha1=φ,|H+Ha1|=2r 若H+Ha1=G,则2r=g,r|g 否则存在a2不属于H+Ha1, Ha2∩(H+Ha1)=φ 于是H+Ha1+Ha2+…+Hak=G,　 r(k+1)=g,r|g. 证毕。 题;3.证：(a)封闭性：f1·fi=f1(fi(x))=fi(x); f2·f3=f2(f3(x))=f2(1-x)=1/(1-x)=f4(x); 同理一一列举可得任意fi都属于G; (b)结合律成立：运算相当于把前面的计算结果带入到后面的函数中，对于该数学运算，运算的先后顺序与结果无关。结合律成立。 (c)存在单位元：e=f1; (d)存在逆元素： f1=e; f2·f2=e; f3·f3=e; f4·f5=f5·f4=e; f6·f6=e; 满足群的条件，得证。 题;4.解：正6面体的转动群用面的置换表示： 面心-面心　±90 　　　(1) (4) 　　6个 　　　　　　180 　　　(1) (2) 　　3个 顶点-顶点 ±120 (3) 8个 棱中-棱中 180 (2) 6个不动 (1) 1个 P=[(g+r+b+y) +6(g+r+b+y) (g +r +b +y ) +6(g + r + b + y ) +3(g+r+b+y) (g +r +b +y ) +8(g +r +b +y ) ]/24 其中g y br的系数为[C(6,2)C(4,2)C(2,1)+3C(2,1)C(2,1)]/24=8 题;5.解：相当于4.7节中例2中求b r 的系数，为[C(8,5)+8C(2,1)]/24=3 题 6.解：正5边形的运动群 题 绕心转　 ±72 　 (5) 　　2个 　　　　 ±144 (5) 　　 2个 翻转 180 (1)(2) 5个 不动