哈工大-数值分析上机实验报告选编.doc

实验报告 16SD33223 陈凯 . PAGE 29. 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序： clear %%%% 输入函数 f=input(请输入需要求解函数,s) %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); %%%改进常数或重根数 miu=2; %%%初始值x0 x0=input(input initial value x0); k=0;%迭代次数 max=100;%最大迭代次数 R=eval(subs(f,x0,x));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解 while (abs(R)1e-8) x1=x0-miu*eval(subs(f,x0,x))/eval(subs(df,x0,x)); R=x1-x0; x0=x1; k=k+1; if (eval(subs(f,x0,x))1e-10); break end if kmax;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值 ss=input(maybe result is error,choose a new x0,y/n?,s); if strcmp(ss,y) x0=input(input initial value x0); k=0; else break end end end k;%给出迭代次数 x=x0；%给出解 结果分析和讨论： 用二分法计算方程在[1，2]内的根。(,下同) 计算结果为 x= 1.40441513061523； f(x)= -3.797205105904311e-007； k=18； 由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。 用二分法计算方程在[1，1.5]内的根。 计算结果为 x= 1.32471847534180； f(x)= 2.209494846194815e-006； k=17； 由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。 用Newton法求解下列方程 x0=0.5； 计算结果为 x= 0.56714329040978； f(x)= 2.220446049250313e-016； k=4； 由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。 x0=1； x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时，计算结果为 x= 0.49999999999983； f(x)= -8.362754932994584e-014； k=4； 由f(x)知结果满足要求，而且