4.5-6函数的凹凸性与作图于秀兰.pdf

2016/12/1 第五节 函数的凹凸性与 作图 一、函数凹凸性与拐点 二、函数的渐近线 三、作图 1 一、曲线的凹凸性与拐点 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 B 图形是（向上）凹的; (2) 若恒有 则称 图形是（向上）A 凸的 . yy 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . o oo xx??xx xx11 11 22 xx22 xx 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y y y=?(x) y =?(x) o x o x 上凹曲线是两端向上,并且开口向上凹的. 下凹曲线是两端向下,并且开口向下凹的. 人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为 曲线的凹性. 在 (??, 0) 上 , y yx? 3 是下凹的 , 3 此时 ?? y ? x y ? 0 . 在 (0, ??) 上 , O x yx? 3 是上凹的 , 此时 y?? ? 0 . x ? 0 时, y?? ? 0 , y? ? 3x2 , y?? ? 6x , 点 (0, 0) 是曲线凹凸性的分界点 . 有何体会？ 能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凹向呢？ y y y =?(x) B A B y =?(x) A o x o x 显然用定义来判别曲线的凹性是极不方便的.但是可以看到 上凹曲线从点A移到点B时, 对应的切线斜率 fx?()是单调增加的.从而当 fx ?? () 存在时,则 fx??( )? 0. 下凹曲线从点 A移到点 B 时,对应的切线斜率 fx ? () 是单调减 少的. 从而当 fx ?? () 存在时,则 fx??( )? 0. 曲线凹向的判定 定理 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内二阶可导. (1) 如果 则曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上是上凹的; (2) 如果 则曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上是下凹的; (1) 如果 则曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上是上凹的; 记忆的例子 y yx? 2 ?