圆锥曲线典型例题讲解选编.doc

PAGE  PAGE 15 9.1　椭　圆 典例精析 题型一　求椭圆的标准方程 【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为eq \f(4\r(5),3)和 eq \f(2\r(5),3)，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(3y2,10)＝1或eq \f(3x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　. eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1. 题型二　椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e的取值范围是[eq \f(1,2)，1).(2)＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(\r(3),3)b2， 【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤(eq \f(|PF1|＋|PF2|,2))2，|PF1|≥a－c. 【变式训练2】已知P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝eq \f(1,4)和圆 (x－4)2＋y2＝eq \f(1,4)上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　.【解析】最小值为9. 题型三　有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求E的离心率； (2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.(1) eq \f(\r(2),2).(2)为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1. 【变式训练3】已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若eq \f(|PF1|,|PF2|)＝e，则e的值是(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(6),3)【解析】选B 题型思　有关椭圆与直线综合问题 【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程． . 【变式训练4】【2012高考广东理20】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由． 总结提高 1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解. 2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理. 3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从