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数学奥林匹克初中训练题 第一试 一、选择题(每小题7分，共42分) 1.满足方程的实数解x的个数为( ). (A)1 (B)2 (C)4 (D)无数多 2.如图，在单位正方形ABCD中，以边AB为直径向形内作半圆，自点C、D分别作半圆的切线CE、DF(E、F为切点).则线段EF的长为( ). (A) /3 (B)3/5 (C) /2 (D)2/3 3.如图，在△ABC中，∠B为直角，∠A的平分线为AD，边BC上的中线为E，且点D、E顺次分BC成三段的比为1∶2∶3.则sin∠BAC=( ). (A)12/13 (B)4 /9 (C)2 /5 (D) 4.将2 008表示为k(k∈N+)个互异的平方数之和.则k的最小值是( ). (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 5.在矩形ABCD中，AB=56，AD=35.用分别与AB、AD平行的直线，将其分成35×56个单位正方形.则被对角线AC从内部穿过的小正方形共有( )个. (A)84 (B)85 (C)91 (D)92 6.若正整数a、b、c、x、y、z满足ax=b+c，by=a+c，cz=a+b，则乘积xyz可能的取值个数为( ). (A)2 (B)3 (C)4 (D)无数多 二、填空题(每小题7分，共28分) 1.设|a|1，化简(a+)4+2(1-2a2)(a+)2+3的结果是 . 2.a1，a2，…，a10分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这十个数码，由此作成两个五位数m=，n=0(mn).则m-n的最小值是 . 3.如图，在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，其内切圆为⊙O.过OA、OB、OC与⊙O的交点M、N、K分别作⊙O的切线，与△ABC的三边分别交于A1、A2、B1、B2、C1、C2.则六边形A1A2B1B2C1C2的面积 是 . 4.若用6张1×2的纸片覆盖一张3×4的方格表，则不同的盖法有 种. 第二试 一、(20分)已知ai、bi(i=1，2，3)为实数，且a21-a22-a23与b21-b22-b23中至少有一个是正数.证明:关于x的一元二次方程 x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(a21-a22-a23)(b21-b22-b23)=0①必有实根. 二、(25分)如图，自△ABC的外接圆EQ \o(\s\up 8(︵),\s\do 1(BC))上的任一点M，作MD⊥BC于D，P是AM上的一点，作PE⊥AC，PF⊥AB，PG⊥BC，E、F、G分别在AC、AB、AD上.证明:E、F、G三点共线. 三、(25分)如图，时钟的表面圆周上有12个等分点，顺次标有数字1，2，…，12.请以这些等分点为顶点作出4个三角形(将这12个等分点分为4组)，使得满足:(1)任两个三角形没有公共顶点；(2)每个三角形的三个顶点上所标的数字中，一数等于另外两??数的和.试求出所有不同的分组方案. (以数字a、b、c为顶点的三角形可以用(a、b、c)表示.) 数学奥林匹克初中训练题9参考答案 第一试 一、1.D. 令x0=，方程可改写为|x0-2|+|x0-3|=1.其几何意义是:在数轴上，点x0到点2和3的距离之和为1.因此，x0可取满足2≤x0≤3的一切实数.故x=x20-1的值可取无数多个. 2.B. 如图，设半圆的圆心为G，联结AE、AF、BE、BF、GF.由A、D、F、G四点共圆知∠BGF=∠ADF. 故△ADF∽△BGF，BF/AF=BG/AD=1/2. 记BF=x，则AF=2x. 在Rt△ABF中，x2+(2x)2=1. 解得x2=1/5. 在等腰梯形ABFE中，由托勒密定理得EF·AB+BF·AE=AF·BE， 即 EF+x2=(2x)2.故EF=3x2=3/5. 3.C. 设BD=x，AB=y，则DE=2x，EC=3x. 由BD/DC=AB/AC，得AC=5y.又AB2+BC2=AC2，即 y2+(6x)2=(5y)2. 所以，x2=2y2/3，sin∠BAC=6x/5y=2 /5. 4.B. 因奇平方数模8余1，偶平方数模4余0，若2 008为两数平方和，即a2+b2=2 008，则a、b皆为偶数.记a=2a1，b=2b1，化为a21+b21=502，则a1、b1皆为奇数.而502模8余6，矛盾. 故k≥3. 当k=3时，设a2+b2+c2=2 008，则a、b、c皆为偶数.记a=2a1，b=2b