许丽卿《高等数学》5.7广义积分.pdfVIP

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2017-04-24 发布于浙江
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许丽卿《高等数学》5.7广义积分.pdf

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第六节广义积分积分限有限常义积分被积函数有界推广广义积分 (反常积分) 一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分 1 一、无穷限的广义积分模型：曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲 ?? dx 边梯形的面积：为 A ? ?1 x2 可理解为 1 b y ? b dx ? 1 ? x2 A ? lim ? lim ? ? ? ?1 2 b? ?? x b? ??? x ?1 A ? 1 ? ? lim ?1? ? ?1 b? ??? b ? 1 b 2 定义1. 设 f(x)在[a,+?)上连续, 取b ? a, 若存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分, 记为并称广义积分收敛 ; 若上述极限不存在, 就称广义积分发散 . 类似地 , 若 f(x)在(-?,b]上连续, 则定义 3 若f(x)在(-?,+?)上连续, 则定义 c b lim f (x)dx ? lim f (x)dx a??? ?a b??? ?c ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称发散 . 注: 上述定义中若出现 ? ? ? , 不是不定型 , 而是表明该广义积分发散 . 4 引入记号 F(??) ? lim F(x) ; F(??) ? lim F(x) x??? x??? 则有计算表达式 : ?? f (x)dx ? F(x) ? F(??) ? F(a) ?a b f (x)dx ? F(x) ? F(b) ? F(??) ??? ?? f (x)dx ? F(x) ? F(??) ? F(??) ??? 5 例1. 计算广义积分 ?? y 1 解: ? [arctan x] y ? 2 ?? 1?x ? ? ? ? (? ) ? ? 2 2 o x 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否则会出现错误, . 6 例2. 证明第一类 p 积分当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 证:当 p =1 时有 ?? ? ?ln x ?a ? ??