许丽卿《高等数学》6.1几何应用2.pdfVIP

6.46.4、平面曲线的弧长与旋转曲面的面积、平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 一、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 λ→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 M n y i?1 M i s = lim MM λ→0 ∑ ?1 ii i=1 = M 并称此曲线弧为可求长的. B n A= M 0 定理: 任意光滑(导函数连续)曲线的o x 弧段都是可求长的. 软件学院xlq 1 (1)(1) 曲线方程在直角坐标系中曲线方程在直角坐标系中:: y = f ≤ ≤ bxax )()( y = f x)( 弧长元素(弧微分) : y ds += yxs )(d)(dd 22 += ′2 d1 xy 得所求弧长 o a x x+dx b b x += ′2 d1 xys ∫a 注意: 求弧长时积分时 b += ′2 d)(1 xxf 须上限大于下限 ∫a 软件学院xlq 2 (2)(2) 曲线方程为参数方程的形式曲线方程为参数方程的形式:: ψ ? = ? tx )( ? t ≤≤ βα)( ? = ty )( 弧长元素(弧微分) : += yxs )(d)(dd 22 = ′2 +ψ?′2 d)()( ttt 因此所求弧长 β s = ′2 +ψ?′2 d)()( ttt ∫α 软件学院xlq 3 (3)(3) 曲线方程在极坐标系中曲线方程在极坐标系中:: = rr θ α ≤θ ≤ β )()( 令 = θ θ = ryrx θ θ ,sin)(,cos)( 则得 弧长元素(弧微分) : ds = ′ 2 + yx ′ 2 d)]([)]([ θθθ 2 += rr ′2 d)()( θθθ 因此所求弧长 β = 2 + rrs ′2 d)()( θθθ ∫α 软件学院xlq 4 例例10.10. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线,, 由于其本身的重量由于其本身的重量,, 下垂 成悬链线 . 悬链线方程为 y x c cy ≤≤?= bxb )(ch c 求这一段弧长 . ? b o b x 2 解: += ′ d1d xys + ee ?xx x x ch x = += 2 dsh1 x = dch x 2 c c ? ee ?xx