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第六章 定积分的应用
一、定积分问题
1) 所求量 定积分F 是一个整体量
与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关;
2) F 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可
表示为
定积分定义
软件学院xlq 1
1、将:整体问题 局部问题；
2、局部范围内:以直代曲,以不变代替变化,
近似求出局部范围内的每一部分；
3、累加；
4、求极限。
dF? f ( x )d x （微元）
b
F? f( x )d x
?a
软件学院xlq 2
二 、应用定积分解决问题
1、求出局部量dF的 近似值
微分表达式 （微元）
2、确定区间端点a,b
3、 求出整体量的 精确值
4、计算积分：表达式
这种分析方法成为 微元法
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 扇, 片等
软件学院xlq 3
定积分在几何学上的应用
6.2、 平面图形的面积
6.3、体积
软件学院xlq 4
6.2、平面图形的面积
1. 直角坐标情形(条、带状小区域) y y ? f (x)
设曲线 与直线
及 x 轴所围曲
o a x b x
边梯形面积为 A , x ? dx
则 dA ? f (x)dx
y y ? f (x) y ? f (x)
b 1 2
A ? f (x)dx
?a
右下图所示图形面积为
b
A ? f (x) ? f (x) dx
?a 1 2 o a x x ? d x b x
软件学院xlq 5
例1. 计算两条抛物线
在第一象限所围所围图形的面积 .
解: 由 y
得交点 (0, 0) , (1,1) 2
y ? x (1,1)
1 2
? Ad?A ? x ? x2 dx y ? x
?0 ? ?
o x 1 x
x ? d x
1
?
3
软件学院xlq 6
例2. 计算抛物线 y2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 所围图形
的面积 .
解: 由 得交点 y
y2 ? 2x
y ? d y (8,4)
(2, ? 2) , (8, 4) y
为简便计算, 选取 xy 作积分变量, o x
y ? x ? 4
则有28
A?[( 2 x ? ( ? 2 x )] dx ? [( 2 x ? ( x ? 4)] dx (2,? 2)
??4 1 2
?02Ad?A ? ( y ? 4 ? y )dy
??2 2
28x2
?2 2 (x ) dx ? 2 xdx ? ( ? 4 x ) |8 ? 18
??
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