许丽卿《高等数学》9.1二重积分概念.pdfVIP

第九章 重 积 分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分 软件学院xlq 1 图例 曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想: 软件学院xlq 2 一、模型 1.曲顶柱体的体积V 顶：平行于 xOy 面的平面. 平顶柱体的体积 = 底面积×高. z z = 常数 0 y x D 软件学院xlq 3 曲顶柱体的体积计算:设曲顶 z = f (x,y )连续 (i)划分 用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 对应一个小曲顶柱体。 z = f (x,y) z z = f (x,y) 0 y x Di Di D 软件学院xlq 4 (ii) 近似计算 当Di很小时, 小曲顶柱体近似看作小平顶柱体。 z = f (x,y) 任取 (? i , ?i)? Di . 小平顶柱体的高 = f (? i , ?i). 记 ?? i = Di的面积. 小平顶柱体的体积： f (? , ? ) = f (? i , ?i) ?? I i i ? 小曲顶柱体体积 (? i , ?i) Di 软件学院xlq 5 (iii)求和 n 大曲顶柱体的体积 V ? ? f (?i ,?i )?? i i?1 (iv)求极限 记 ? ? max{Di的直径}, 1?i?n 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. n 则 V ? lim? f (?i ,?i )?? i , ??0 i?1 x y Di 其中 (? i , ?i)? Di , ?? i = Di 的面积. 软件学院xlq 6 2、 非均匀分布物体的质量 模型：一平面薄板所占区域为D,面密度 ? (x, y) ? 0 连续, (x, y) ? D，求该平面薄板的质量M。 i)、划分：用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , y Di Di的面积记作 ?? i . D x 0 软件学院xlq 7 ii)、 近似计算 ?(? i , ?i)? Di , 以? (? i , ?i)作为Di 小片薄板的面密度. 第 i 片薄板的质量 mi ? ?(? i , ?i) ??