许丽卿《高等数学》9_2二重积分的计算.pdfVIP

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2017-04-24 发布于浙江
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许丽卿《高等数学》9_2二重积分的计算.pdf

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9.2 二重积分的计算 1 一、利用直角坐标计算二重积分由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f( x , y )? 0 ，在D上连续时, y y ? ?2 (x) D ??1(x) ? y ? ?2 (x) X – 型区域--- D : ? x ? a ? x ? b o a b x y ? ?1(x) b ?2 (x) 则 f (x, y)dxdy ? d x f (x, y)dy ??D ?a ??1 (x) y x ?? 2 (y) ??1(y) ? x ?? 2 (y) d Y –型区域--- D : ? y ? c ? y ? d x ??1(y) d ? 2 ( y) c 则 d y f (x, y)dx o x ?c ?? 1 ( y) 2 当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于 f (x, y) ? f (x, y) f (x, y) ? f (x, y) f (x, y) ? ? 2 2 f1(x, y) f2 (x, y) 均非负因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 3 注: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域则有 f (x, y)dxdy y ??D d y ? ?2 (x) ? (x) b 2 x ?? (y) x ?? 2 (y) ? d x ? f (x, y)dy 1 D ?a ?1 (x) y y ? ?1(x) d ? 2 ( y) c ? d y f (x, y)dx x ?c ?? 1 ( y) o a b x 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y D2 X-型域或Y-型域 , 则 D1 D ?? ? ?? ? ?? ? ?? 3 D D1 D2 D3 o x 4 例1. 计算 I ? xyd? ,其中D 是直线 y＝1, x＝2 ??D 及 y＝x 所围的闭区域. ?1 ? y ? x 解法1. 视D为X–型区域, 则 D : ? ?1 ? x ? 2 y 2 x 2 x 2 y ? x I ? d x xyd y ? ? 1 x y 2 ? d x ?1 ?1 ?1 2 1 1 y 2 9 ? ? 1 x3 ? 1 x ?